Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm là điểm I. Gọi G(1;-2) và K(3;1) lần lượt là trọng tâm các tam giác ACD và ABI. Biết A(a;b) với b > 0. Khi đó a2 + b2 bằng

Gọi M, N và P lần lượt là các trung điểm của AB, CD và BI. Ta có

\(\overrightarrow {AK} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AI} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AD} \)

\(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AN} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)

\(\overrightarrow {KG} = \overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} \)

Suy ra: \(\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {KG} = \frac{1}{{12}}A{D^2} - \frac{1}{{12}}A{B^2} = 0\) vì AB = AD và \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\)

Đồng thời

\(A{K^2} = \frac{5}{{18}}A{B^2} = K{G^2} = \frac{5}{{18}}A{B^2}\). Do đó tam giác AKG vuông cân tại K nên:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {AK} .\overrightarrow {KG} = 0\\ A{K^2} = G{K^2} \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a + 3b = 9\\ {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = 13 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = \frac{{9 - 2a}}{3}\\ 13{a^2} - 78a = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b = \frac{{9 - 2a}}{3}\\ \left[ \begin{array}{l} a = 0\\ a = 6 \end{array} \right. \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} a = 0\\ b = 3\left( {tm} \right) \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} a = 6\\ b = - 1\left( {loai} \right) \end{array} \right. \end{array} \right.\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 9 \end{array}\)