Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(4;1); B(0;3); C(1;2).

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;2} \right);\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;1} \right)\)

Vì \(\frac{{ - 4}}{{ - 3}} \ne \frac{2}{1}\) nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương. Vậy A, B, C là 3 đỉnh của tam giác.

b) Gọi M là trung điểm của AB, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{4 + 0}}{2} = 2\\
{y_M} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2
\end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( {2;2} \right)\)

c) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{4 + 0 + 1}}{3} = \frac{5}{3}\\
{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{1 + 3 + 2}}{3} = 2
\end{array} \right.\)

Vậy \(G\left( {\frac{5}{3};2} \right)\)

d) Tọa độ đỉnh D để ABCD là hình bình hành 

\(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} - 4 = 1\\
{y_D} - 1 =  - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_D} = 5\\
{y_D} = 0
\end{array} \right.\)

Vậy D(5;0)

e) \(E\left( {{x_E};0} \right) \in Ox\)

Gọi B’ đối xứng với B qua trục Ox:  \(B'\left( {0; - 3} \right)\)

 \(AE + BE = AE + B'E\) đạt giá trị nhỏ nhất khi A,B’,E thẳng hàng

\(\overrightarrow {AE}  = k\overrightarrow {AB'}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_E} - 4 =  - 4k\\
0 - 1 = k.\left( { - 4} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k = \frac{1}{4}\\
{x_E} = 3
\end{array} \right.\)

Vậy E(3;0).