Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình ${x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m < 0$ vô nghiệm.

1. Đặt $f\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m$

Bất phương trình $f(x)$ vô nghiệm khi và chỉ khi $f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R$.

Do hệ số a = 1 > 0 nên $f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in R \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( { - 4m} \right) \le 0$

$\Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow m \le  - 1$ thỏa mãn đề bài.

2. Bất phương trình: $\sqrt {{x^2} + 3}  \ge 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 2x < 0\\ {x^2} + 3 \ge 0,\forall x \in R \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} 2x \ge 0\\ {x^2} + 3 \ge 4{x^2} \end{array} \right. \end{array} \right.$

$\begin{array}{l}  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 0\\ \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\ {x^2} \le 1 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 0\\ \left\{ \begin{array}{l} x \ge 0\\  - 1 \le x \le 1 \end{array} \right. \end{array} \right.\\  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x < 0\\ 0 \le x \le 1 \end{array} \right. \end{array}$

$\Leftrightarrow x \le 1$ là nghiệm của bất phương trình.