Tìm các điểm trên (C) y=(x+1)/(x-2) sao cho khoảng cách từ đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất

Hàm số:  \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)

Đồ thị hàm số có TCN đường thẳng y=1, TCĐ là đường thẳng x=2.

Gọi điểm \(C\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in (C)\)

Theo bài ra ta có khoảng cách từ C đến 2 đường tiệm cận là

\(\begin{array}{l} d = \left| {{x_0} - 2} \right| + \left| {{y_0} - 1} \right| = \left| {{x_0} - 2} \right| + \left| {\frac{{x + 1}}{{x - 2}} - 2} \right|\\ = \left| {{x_0} - 2} \right| + \left| {\frac{3}{{{x_0} - 2}}} \right| \ge 2\sqrt 3 \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi  \(\left| {{x_0} - 2} \right| = \left| {\frac{3}{{{x_0} - 2}}} \right| \Rightarrow {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 2 + \sqrt 3 \\ {x_0} = 2 - \sqrt 3 \end{array} \right.\)

Vậy chọn B.