Gọi S là tập hợp các số tự nhiên n có 4 chữ số thỏa mãn \({{\left( {{2}^{n}}+{{3}^{n}} \right)}^{2020}}<{{\left( {{2}^{2020}}+{{3}^{2020}} \right)}^{n}}\). Số phần tử của S là

Ta có \({\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n} \Leftrightarrow \ln {\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < \ln {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2020\ln \left( {{2^n} + {3^n}} \right) < n\ln \left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{\ln \left( {{2^n} + {3^n}} \right)}}{n} < \frac{{\ln \left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)}}{{2020}} \end{array}\)

Xét \(f\left( t \right) = \frac{{\ln \left( {{2^t} + {3^t}} \right)}}{t},t > 0\)

\( \Rightarrow f'\left( t \right) = \frac{{\frac{{t\left( {{2^t}\ln 2 + {3^t}\ln 3} \right)}}{{{2^t} + {3^t}}} - \ln \left( {{2^t} + {3^t}} \right)}}{{{t^2}}} = \frac{{\left( {{2^t}\ln {2^t} + {3^t}\ln {3^t}} \right) - \left( {{2^t} + {3^t}} \right)\ln \left( {{2^t} + {3^t}} \right)}}{{{t^2}\left( {{2^t} + {3^t}} \right)}}\)

Ta thấy

\({{2}^{t}}.\ln {{2}^{t}}<{{2}^{t}}\ln \left( {{2}^{t}}+{{3}^{t}} \right)\)

\({{3}^{t}}.\ln {{3}^{t}}<{{3}^{t}}\ln \left( {{2}^{t}}+{{3}^{t}} \right)\)

Suy ra \({f}'\left( t \right)<0, \forall t>0\) suy ta hàm số f(t) nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;+\infty  \right)\).

Vậy ta có \(f\left( n \right)<f\left( 2020 \right)\Leftrightarrow n>2020\)

\(n\in \left\{ 2021,..........,9999 \right\}\) hay có có 7979 phần tử thuộc S.