Điện áp \(u={{U}_{0}}cos\left( 100\pi t \right)\) (t tính bằng s) được đặt vào hai đầu đoạn mạch gồm cuộn dây và tụ điện mắc nối tiếp. Cuộn dây có độ tự cảm \(L=\frac{0,15}{\pi }H\) và điện trở \(r=5\sqrt{3}\Omega \), tụ điện có điện dung \(C=\frac{{{10}^{-3}}}{\pi }F\). Tại thời điểm \({{t}_{1}}\)(s) điện áp tức thời hai đầu cuộn dây có giá trị 100 V, đến thời điểm \({{t}_{2}}={{t}_{1}}+\frac{1}{75}s\) thì điện áp tức thời hai đầu tụ điện cũng bằng 100 V. Gía trị của \({{U}_{0}}\) gần đúng là

Ta tính nhanh được: \({{Z}_{L}}=15\Omega ;{{Z}_{C}}=10\Omega \) và \(Z=10\Omega \)

Góc lệch pha giữa u, \({{u}_{d}}\) và \({{u}_{e}}\) so với i qua mạch:

\(\tan \varphi =\frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{r}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{6};\tan {{\varphi }_{d}}=\frac{{{Z}_{L}}}{r}=\sqrt{3}\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{3}\)

\({{\varphi }_{C}}=-\frac{\pi }{2}\)

Ta có giản đồ như hình vẽ.

Theo giản đồ ta có:

\({{U}_{d}}=\frac{{{U}_{R}}}{cos\frac{\pi }{3}}=2{{U}_{R}};{{U}_{L}}={{U}_{R}}\tan \frac{\pi }{3}={{U}_{R}}\sqrt{3}\) và \({{U}_{L}}-{{U}_{C}}={{U}_{R}}\tan \varphi ={{U}_{R}}\tan \frac{\pi }{6}=\frac{{{U}_{R}}}{\sqrt{3}}\)

\(\Rightarrow {{U}_{C}}={{U}_{L}}-\frac{{{U}_{r}}}{\sqrt{3}}=\frac{2{{U}_{r}}}{\sqrt{3}}\)

Theo bài ra ta có \({{u}_{d}}\) sớm pha hơn u góc \(\frac{\pi }{6}\). Còn \({{u}_{C}}\) chậm pha hơn u góc \(\frac{2\pi }{3}\). Do đó biểu thức của \({{u}_{d}}\) và \({{u}_{C}}\) là:

\({{u}_{d}}={{U}_{d}}\sqrt{2}cos\left( 100\pi t+\frac{\pi }{6} \right)=2{{U}_{R}}\sqrt{2}cos\left( 100\pi t+\frac{\pi }{6} \right)V\)

\({{u}_{C}}={{U}_{C}}\sqrt{2}cos\left( 100\pi t-\frac{2\pi }{3} \right)=\frac{2{{U}_{R}}}{\sqrt{3}}\sqrt{2}cos\left( 100\pi t-\frac{2\pi }{3} \right)V\)

Khi \(t={{t}_{1}}\): \({{u}_{d}}={{U}_{d}}\sqrt{2}cos\left( 100\pi t+\frac{\pi }{6} \right)=100V\)  (1)

Khi \(t={{t}_{1}}+\frac{1}{75}\): \({{u}_{C}}=\frac{2{{U}_{R}}}{\sqrt{3}}\sqrt{2}cos\left( 100\pi \left( t+\frac{1}{15} \right)-\frac{2\pi }{3} \right)=100V\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\left( 100\pi t+\frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{\sqrt{3}}cos\left( 100\pi \left( t+\frac{1}{15} \right)-\frac{2\pi }{3} \right)==-\frac{1}{\sqrt{3}}\sin \left( 100\pi t+\frac{\pi }{6} \right)\)

\(\Rightarrow \tan \left( 100\pi t+\frac{\pi }{6} \right)=-\sqrt{3}\Rightarrow cos\left( 100\pi t+\frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{2}\)

Từ biểu thức \({{u}_{d}}\): \({{u}_{d}}=2{{U}_{d}}\sqrt{2}cos\left( 100\pi t+\frac{\pi }{6} \right)=2{{U}_{R}}\sqrt{2}.\frac{1}{2}=100V\Rightarrow {{U}_{R}}=\frac{100}{\sqrt{2}}V\)

Mặt khác \(U=\sqrt{U_{R}^{2}+{{\left( {{U}_{L}}-{{U}_{C}} \right)}^{2}}}=\sqrt{U_{R}^{2}+{{\left( \frac{{{U}_{R}}}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}{{U}_{R}}\)

\(\Rightarrow U=\frac{2}{\sqrt{3}}.\frac{100}{\sqrt{2}}=\frac{200}{\sqrt{6}}\Rightarrow {{U}_{0}}=U\sqrt{2}=\frac{200\sqrt{3}}{3}=115V\)