Điện áp $u={{U}_{0}}cos\left( 100\pi t \right)$ (t tính bằng s) được đặt vào hai đầu đoạn mạch gồm cuộn dây và tụ điện mắc nối tiếp. Cuộn dây có độ tự cảm $L=\frac{0,15}{\pi }H$ và điện trở $r=5\sqrt{3}\Omega$, tụ điện có điện dung $C=\frac{{{10}^{-3}}}{\pi }F$. Tại thời điểm ${{t}_{1}}$(s) điện áp tức thời hai đầu cuộn dây có giá trị 100 V, đến thời điểm ${{t}_{2}}={{t}_{1}}+\frac{1}{75}s$ thì điện áp tức thời hai đầu tụ điện cũng bằng 100 V. Gía trị của ${{U}_{0}}$ gần đúng là

Ta tính nhanh được: ${{Z}_{L}}=15\Omega ;{{Z}_{C}}=10\Omega$ và $Z=10\Omega$

Góc lệch pha giữa u, ${{u}_{d}}$ và ${{u}_{e}}$ so với i qua mạch:

$\tan \varphi =\frac{{{Z}_{L}}-{{Z}_{C}}}{r}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{6};\tan {{\varphi }_{d}}=\frac{{{Z}_{L}}}{r}=\sqrt{3}\Rightarrow \varphi =\frac{\pi }{3}$

${{\varphi }_{C}}=-\frac{\pi }{2}$

Ta có giản đồ như hình vẽ.

Theo giản đồ ta có:

${{U}_{d}}=\frac{{{U}_{R}}}{cos\frac{\pi }{3}}=2{{U}_{R}};{{U}_{L}}={{U}_{R}}\tan \frac{\pi }{3}={{U}_{R}}\sqrt{3}$ và ${{U}_{L}}-{{U}_{C}}={{U}_{R}}\tan \varphi ={{U}_{R}}\tan \frac{\pi }{6}=\frac{{{U}_{R}}}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow {{U}_{C}}={{U}_{L}}-\frac{{{U}_{r}}}{\sqrt{3}}=\frac{2{{U}_{r}}}{\sqrt{3}}$

Theo bài ra ta có ${{u}_{d}}$ sớm pha hơn u góc $\frac{\pi }{6}$. Còn ${{u}_{C}}$ chậm pha hơn u góc $\frac{2\pi }{3}$. Do đó biểu thức của ${{u}_{d}}$ và ${{u}_{C}}$ là:

${{u}_{d}}={{U}_{d}}\sqrt{2}cos\left( 100\pi t+\frac{\pi }{6} \right)=2{{U}_{R}}\sqrt{2}cos\left( 100\pi t+\frac{\pi }{6} \right)V$

${{u}_{C}}={{U}_{C}}\sqrt{2}cos\left( 100\pi t-\frac{2\pi }{3} \right)=\frac{2{{U}_{R}}}{\sqrt{3}}\sqrt{2}cos\left( 100\pi t-\frac{2\pi }{3} \right)V$

Khi $t={{t}_{1}}$: ${{u}_{d}}={{U}_{d}}\sqrt{2}cos\left( 100\pi t+\frac{\pi }{6} \right)=100V$  (1)

Khi $t={{t}_{1}}+\frac{1}{75}$: ${{u}_{C}}=\frac{2{{U}_{R}}}{\sqrt{3}}\sqrt{2}cos\left( 100\pi \left( t+\frac{1}{15} \right)-\frac{2\pi }{3} \right)=100V$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left( 100\pi t+\frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{\sqrt{3}}cos\left( 100\pi \left( t+\frac{1}{15} \right)-\frac{2\pi }{3} \right)==-\frac{1}{\sqrt{3}}\sin \left( 100\pi t+\frac{\pi }{6} \right)$

$\Rightarrow \tan \left( 100\pi t+\frac{\pi }{6} \right)=-\sqrt{3}\Rightarrow cos\left( 100\pi t+\frac{\pi }{6} \right)=\frac{1}{2}$

Từ biểu thức ${{u}_{d}}$: ${{u}_{d}}=2{{U}_{d}}\sqrt{2}cos\left( 100\pi t+\frac{\pi }{6} \right)=2{{U}_{R}}\sqrt{2}.\frac{1}{2}=100V\Rightarrow {{U}_{R}}=\frac{100}{\sqrt{2}}V$

Mặt khác $U=\sqrt{U_{R}^{2}+{{\left( {{U}_{L}}-{{U}_{C}} \right)}^{2}}}=\sqrt{U_{R}^{2}+{{\left( \frac{{{U}_{R}}}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{3}}{{U}_{R}}$

$\Rightarrow U=\frac{2}{\sqrt{3}}.\frac{100}{\sqrt{2}}=\frac{200}{\sqrt{6}}\Rightarrow {{U}_{0}}=U\sqrt{2}=\frac{200\sqrt{3}}{3}=115V$