Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\in \left( -2020;2020 \right)\) để \(2{{\text{a}}^{\sqrt{{{\log }_{a}}b}}}\text{ - }{{\text{b}}^{\sqrt{{{\log }_{b}}a}}}>m\sqrt{{{\log }_{a}}b}+1\) với a,b là các số thực lớn hơn 1?

Đặt \(t=\sqrt{{{\log }_{a}}b}\) vì \(a,b\in \left( 1;+\infty  \right)\) nên t>0. Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} b = {a^{{t^2}}}\\ \sqrt {{{\log }_b}a} = \frac{1}{t} \end{array} \right..\)

Bất phương trình trở thành \(2{{a}^{t}}-{{\left( {{a}^{{{t}^{2}}}} \right)}^{\frac{1}{t}}}>mt+1\Leftrightarrow {{a}^{t}}>mt+1\). Để bất phương trình \(2{{\text{a}}^{\sqrt{{{\log }_{a}}b}}}\text{ - }{{\text{b}}^{\sqrt{{{\log }_{b}}a}}}>m\sqrt{{{\log }_{a}}b}+1\) đúng với a,b là các số thực lớn hơn 1 thì \(m<\frac{{{a}^{t}}-1}{t}\) với mọi t>0.

Xét hàm \(f\left( t \right)=\frac{{{a}^{t}}-1}{t}\) trên \(\left( 0;+\infty  \right).\) Ta có \({f}'\left( t \right)=\frac{t{{a}^{t}}\ln a-{{a}^{t}}+1}{{{t}^{2}}}.\)

• \(g\left( t \right)=t{{a}^{t}}\ln a-{{a}^{t}}+1\) trên \(\left[ 0;+\infty  \right).\) Đạo hàm \({g}'\left( t \right)=t{{a}^{t}}{{\ln }^{2}}a>0,\forall t>0.\)

• Suy ra \(g\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ 0;+\infty  \right)\) nên \(g\left( t \right)>g\left( 0 \right)=0,\forall t>0.\)

Suy ra \({f}'\left( t \right)>0,\forall t>0.\) Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty  \right).\)

Ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên suy ra \(m\le \ln a\). Do đúng với mọi a>1 và m là số nguyên thuộc (-2020;2020) nên \(m\in \left\{ -2019;-2018;...0 \right\}\).