Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y={{x}^{8}}+\left( m-3 \right){{x}^{5}}-\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{4}}+1\) đạt cực tiểu tại \(x=0?\)

Ta có: \(y'=8{{x}^{7}}+5\left( m-3 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{3}}={{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right) \right].\)

\(\Rightarrow y''=56{{x}^{6}}+20\left( m-3 \right){{x}^{3}}-12\left( {{m}^{2}}-9 \right){{x}^{2}}.\)

\(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left[ 8{{x}^{4}}+5\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right) \right]=0\ \ \ \left( * \right)\)

TH1: Xét \({{m}^{2}}-9=0\Leftrightarrow m=\pm 3.\)

+) Với \(m=3\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow 8{{x}^{7}}=0\Leftrightarrow x=0\Rightarrow y\left( 0 \right)=1\Rightarrow x=0\) là điểm cực tiểu của hàm số.

+) Với \(m=-3\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow {{x}^{3}}\left( 8{{x}^{4}}-30x \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}\left( 8{{x}^{3}}-30 \right)=0\)  

\(\Rightarrow x=0\) là nghiệm bội bốn \(\Rightarrow x=0\) không là cực trị của hàm số.

TH2: Xét \({{m}^{2}}-9\ne 0\Leftrightarrow m\ne \pm 3.\)

Ta có: \(y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left[ 8{{x}^{5}}+5\left( m-3 \right){{x}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-9 \right)x \right]=0\ \ \ \left( 1 \right)\)

Vì \({{x}^{2}}\ge 0\) nên số cực trị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) là số nghiệm của phương trình:

 \(g\left( x \right)=8{{x}^{5}}+5\left( m-3 \right){{x}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-9 \right)x=0\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\Leftrightarrow g'\left( 0 \right)>0\)

Có \(g'\left( x \right)=40{{x}^{4}}+10\left( m-3 \right)x-4\left( {{m}^{2}}-9 \right).\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow g'\left( 0 \right)>0\Leftrightarrow -4\left( {{m}^{2}}-9 \right)>0 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}-9<0\Leftrightarrow -3<m<3 \\ & \Rightarrow m\in \left\{ -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2 \right\}. \\\end{align}\)  

Kết hợp 2 TH ta có 6 giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn C.