Cho hàm số \(y=\frac{x-2}{x+1}\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Gọi \(I\) là giao điểm của hai tiệm cận của \(\left( C \right).\) Xét tam giác đều \(ABI\) có hai đỉnh \(A,\ B\) thuộc \(\left( C \right),\) đoạn thẳng \(AB\) có độ dài bằng:

Ta có: \(x=-1\) là TCĐ của đồ thị hàm số, \(y=1\) là TCN của đồ thị hàm số.

\(\Rightarrow I\left( -1;\ 1 \right)\) là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

\(\Rightarrow IH:\ \ y=-x.\)Dựa vào đô thị hàm số ta có \(\Delta IAB\) là tam giác đều \(\Rightarrow IH\) vừa là đường cao đồng thời là đường phân giác của \(\angle AIB\Rightarrow IH\) cũng là đường phân giác của góc phần tư thứ hai.

Ta có: \(AB\bot IH\Rightarrow AB:\ \ y=x+m\Leftrightarrow x-y+m=0.\)

\(\Rightarrow d\left( I;\ AB \right)=\frac{\left| -1-1+m \right|}{\sqrt{2}}=\frac{\left| m-2 \right|}{\sqrt{2}}.\)

Gọi độ dài cạnh của tam giác đều \(IAB\) là \(a\Rightarrow IH=d\left( I;\ AB \right)=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\left| m-2 \right|}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow a\sqrt{3}=\sqrt{2}\left| m-2 \right| \\ & \Leftrightarrow 3{{a}^{2}}=2{{\left( m-2 \right)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}=\frac{2{{\left( m-2 \right)}^{2}}}{3}.\ \ \ \ \ \left( 1 \right) \\\end{align}\)

Hoành độ các giao điểm \(A,\ B\) là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm:

\(\frac{x-2}{x+1}=x+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+m+2=0\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m+2 \\\end{align} \right..\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow A\left( {{x}_{1}};\ {{x}_{1}}+m \right);\ \ B\left( {{x}_{2}};\ {{x}_{2}}+m \right). \\ & \Rightarrow AB=a\Leftrightarrow A{{B}^{2}}={{a}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{1}}+m-{{x}_{2}}-m \right)}^{2}}={{a}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 2{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{a}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{a}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-8\left( m+2 \right)=\frac{2{{\left( m-2 \right)}^{2}}}{3} \\ & \Leftrightarrow 3\left( {{m}^{2}}-4\left( m+2 \right) \right)={{\left( m-2 \right)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 3{{m}^{2}}-12m-24={{m}^{2}}-4m+4 \\ & \Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-8m=28 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}-4m=14. \\ & \Rightarrow AB=\sqrt{2{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{m}^{2}}-8\left( m+2 \right)}=\sqrt{2\left( {{m}^{2}}-4m-8 \right)}=\sqrt{2.\left( 14-8 \right)}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}. \\\end{align}\)

Chọn A.