Chứng minh \(\left( {\frac{4}{{{a^2} + {b^2}}} + 1} \right)\left( {\frac{4}{{{b^2} + {c^2}}} + 1} \right)\left( {\frac{4}{{{c^2} + {a^2}}} + 1} \right) \ge 3{\left( {a + b + c} \right)^2}\) biết các số dương \(a, b, c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\).

Từ giả thiết ta có \(0 < {a^2},{b^2},{c^2} < 3\). Áp dụng BĐT Cauchy ta có :

\(\frac{4}{{3 - {a^2}}} + (3 - {a^2}) \ge 4 \Rightarrow \frac{4}{{3 - {a^2}}} + 1 \ge 2 + {a^2}\).

Tương tự: \(\frac{4}{{3 - {b^2}}} + 1 \ge 2 + {b^2};\frac{4}{{3 - {c^2}}} + 1 \ge 2 + {c^2}\)

Do đó: \(\left( {\frac{4}{{{a^2} + {b^2}}} + 1} \right)\left( {\frac{4}{{{b^2} + {c^2}}} + 1} \right)\left( {\frac{4}{{{c^2} + {a^2}}} + 1} \right) \ge ({a^2} + 2)({b^2} + 2)({c^2} + 2),(1)\)

Áp dụng BĐT Bun… ta có:

 \(({a^2} + 2)({b^2} + 2) = ({a^2} + 1)({b^2} + 1) + {a^2} + {b^2} + 3 \ge {(a + b)^2} + \frac{1}{2}{(a + b)^2} + 3\)

= \(\frac{3}{2}({(a + b)^2} + 2) \Rightarrow ({a^2} + 2)({b^2} + 2)({c^2} + 2) \ge \frac{3}{2}({(a + b)^2} + 2)({c^2} + 2)\)

\( \ge \frac{3}{2}{\left( {\sqrt 2 (a + b) + \sqrt 2 c} \right)^2} = 3{(a + b + c)^2},(2)\) 

Từ (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1