Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi: \({u_1} = \sin 1\,;\,\,\,{u_n} = {u_{n - 1}} + \frac{{\sin n}}{{{n^2}}}\), với \(\forall n \in N,\,\,n \ge 2\). Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định như trên là một dãy số bị chặn.

Ta có: \(\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} < 2,\forall n \in {N^*}\), vì

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} < 1 + \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n.(n - 1)}} = }\\
{ = 1 + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n} = 2 - \frac{1}{n} < 2}
\end{array}\)

Bằng qui nạp ta CM được: \({u_n} = \frac{{\sin 1}}{{{1^2}}} + \frac{{\sin 2}}{{{2^2}}} + ... + \frac{{\sin n}}{{{n^2}}}\) 

Suy ra : \( - 2 <  - \left( {\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) \le {u_n} \le \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} < 2,\forall n \in {N^*}\)

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định như trên là một dãy số bị chặn.