Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tai E. Kẻ EF\( \bot \)AD.

a) Chỉ ra \(\widehat {ABD} = {90^0}\)suy ra \(\widehat {ABE} = {90^0}\)

EF\( \bot \)AD suy ra \(\widehat {EFA} = {90^0}\)

=> Tứ giác ABEF có tổng hai góc đối bằng 90⁰ nội tiếp được đường tròn

b) Tứ giác ABEF nội tiếp suy ra \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{A_1}}\)( góc nội tiếp cùng chắn cung EF)

    Mà \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_2}}\) ( nội tiếp cùng chắn cung CD)

Suy ra \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) suy ra BD là tia phân giác của góc CBF.

c) Chỉ ra tam giác AEF vuông tại F có trung tuyến FM => tam giác AMF  cân tại M suy ra \(\widehat {{M_1}} = 2\widehat {{A_1}}\)

Chỉ ra \(\widehat {CBF} = 2\widehat {{A_1}}\) suy ra \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{CBF}}\)  

Suy ra B và M cùng nhìn đoạn CF dưới một góc bằng nhau và chúng cùng phía đối với CF nên suy ra tứ giác BMFC nội tiếp một đường tròn