Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc với AD tại F

a) Ta có: \(\widehat {ACD} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AD)

Hay \(\widehat {ECD} = {90^0}\)

Xét tứ giác DCEF có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ECD} = {90^0}\left( {cmt} \right)\\
\widehat {EFD} = {90^0}\left( {EF \bot AD} \right)
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \widehat {ECD} + \widehat {EFD} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\). Mà \(\widehat {ECD};\widehat {EFD}\) là 2 góc ở vị trí đối diện.

   => Tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp      (đpcm)

b) Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp  ( cm phần a )

\( \Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {CFE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung CE)

c) Vì tứ giác DCEF là tứ giác nội tiếp  ( cm phần a ) 

=>  \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung EF)        (4)

          Mà:  \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{D_1}}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)        (5)

Từ (4) và (5) =>   \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) hay CA là tia phân giác của \(\widehat {BCF}\)    (đpcm)