Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của AB. Mp(P) qua I song song với (BCD). Thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(P) có diện tích là:

Câu hỏi:
Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của AB. Mp(P) qua I song song với (BCD). Thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(P) có diện tích là:
- A. $\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}$
- B. $\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}$
- C. $\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}$
- D. $\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16}$
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: D

Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AC và AD ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( {ABC} \right) \cap \left( \alpha \right)\\\left( \alpha \right)\parallel BC \subset \left( {ABC} \right)\\IH\parallel BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {ABC} \right) \cap \left( \alpha \right) = IH$

Tương tự ta chứng minh được $\left( \alpha \right)\cap \left( ACD \right)=HK\,\,;\,\,\left( \alpha \right)\cap \left( ABD \right)=IK$

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua I và song song với (BCD) là tam giác IHK.

Ta có: IH, HK, IK lần lượt là đường trung bình của các tam giác ABC, ACD, ABD.

$IH=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a,HK=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}a,IK=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}a\Rightarrow IH=HK=IK=\frac{a}{2}\Rightarrow \Delta IHK\(đều cạnh \(\frac{a}{2}.$

Vậy ${{S}_{\Delta IHK}}={{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{16}.$

Chọn D.

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ATNETWORK