Cho tam giác ABC vuông tại A, có \(\hat B = {60^0}\) và AB = 5cm. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D.

1) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta EBD\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(Delta EBD\), có:

          \(\widehat {BAD} = \widehat {BED} = {90^0}\)

          BD là cạnh huyền chung

          \(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (gt)

Vậy \(\Delta ABD = \Delta EBD\)  (cạnh huyền – góc nhọn)   

2) Chứng minh \(\Delta ABE\) là tam giác đều.

\(\Delta ABD = \Delta EBD\) (cmt)

\( \Rightarrow \) AB = BE

mà \(\hat B = {60^0}\) (gt)

Vậy \(\Delta ABE\) có  AB = BE và \(\hat B = {60^0}\) nên \(\Delta ABE\) đều.

3) Tính độ dài cạnh BC

Ta có:  Trong \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(\hat A + \hat B + \hat C = {180^0}\) 

               Mà \(\widehat A = {90^0},\widehat B = {60^0} \Rightarrow \widehat C = {30^0}\)

 Ta có: \(\widehat {BAC} = \widehat {EAC} = {90^0}\) (\(\Delta ABC\) vuông tại A)

               Mà \(\widehat {BAE} = {60^0}\) (\(\Delta ABE\) đều) nên \(\widehat {EAC} = {30^0}\)

Xét \(\Delta EAC\) có \(\widehat {EAC} = {30^0}\) và \(\hat C = {30^0}\) nên \(\Delta EAC\) cân tại E

       \( \Rightarrow \) EA = EC mà EA = AB = EB = 5cm

Do đó EC = 5cm

Vậy BC = EB + EC = 5cm + 5cm = 10cm