Cho tam giác ABC vuông tại A, có góc B=60 độ và AB = 5cm. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D.

1/ Chứng minh: \(\Delta \)ABD = \(\Delta \)EBD

Xét  \(\Delta \)ABD và \(\Delta \)EBD, có:

            \(\widehat {BAD} = \widehat {BED} = {90^0}\)

            BD là cạnh huyền chung

            \(\widehat {ABD} = \widehat {EBD}\) (gt)

Vậy \(\Delta \)ABD = \(\Delta \)EBD  (cạnh huyền – góc nhọn)

2/ Chứng minh:\(\Delta \)ABE là tam giác đều.

\(\Delta \)ABD =\(\Delta \)EBD (cmt)

=> AB = BE

mà  \(\widehat B = {60^0}\)  (gt)

Vậy  \(\Delta \)ABE có  AB = BE và   nên  \(\Delta \)ABE đều.

3/  Tính độ dài cạnh BC

Ta có :  Trong \(\Delta \) ABC vuông tại A có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\) 

               mà \(\widehat A = {90^0};\widehat B = {60^0}(gt)\)  => \(\widehat C = {30^0}\)

 Ta có  :  \(\widehat {BAC} + \widehat {EAC} = {90^0}\) (\(\Delta \)ABC vuông tại A)

                Mà \(\widehat {BAE} = {60^0}\)(\(\Delta \)ABE đều)  nên \(\widehat {EAC} = {30^0}\)

Xét \(\Delta \)EAC có \(\widehat {EAC} = {30^0}\) và \(\widehat C = {30^0}\) nên \(\Delta \)EAC cân tại E

            => EA = EC mà EA = AB = EB = 5cm

Do đó EC = 5cm

Vậy BC = EB + EC = 5cm + 5cm = 10cm