Cho tam giác ABC đều, cạnh bằng \(a\), điểm \(M\) thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} = \frac{{{a^2}}}{4}\). Bán kính đường tròn đó là

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác ABC, ta có: \(\overrightarrow {GA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC} {\rm{\;}} = \vec 0\), \(GA = GB = GC = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

và \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} {\rm{\;}} = \overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GC} {\rm{\;}} = \overrightarrow {GC} .\overrightarrow {GA} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \frac{{{a^2}}}{6}\)

Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(G\) cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có:

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} {\rm{\;}} = \)\(\left( {\overrightarrow {MG} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GA} } \right).\left( {\overrightarrow {MG} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GB} } \right)\)\( = {\overrightarrow {MG} ^2} + \overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GB} } \right) + \overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB} \)

\(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} {\rm{\;}} = \)\(\left( {\overrightarrow {MG} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GB} } \right).\left( {\overrightarrow {MG} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC} } \right)\)\( = {\overrightarrow {MG} ^2} + \overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC} } \right) + \overrightarrow {GB} .\overrightarrow {GC} \)

\(\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} = \)\(\left( {\overrightarrow {MG} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GC} } \right).\left( {\overrightarrow {MG} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GCA} } \right)\)\( = {\overrightarrow {MG} ^2} + \overrightarrow {MG} .\left( {\overrightarrow {GC} {\rm{\;}} + \overrightarrow {GA} } \right) + \overrightarrow {GC} .\overrightarrow {GA} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} \)\( = 3M{G^2} + 3.\left( { - \frac{{{a^2}}}{6}} \right)\)\( = 3M{G^2} - \frac{{{a^2}}}{2}\)

Mà \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} = \frac{{{a^2}}}{4}\) suy ra \(\frac{{{a^2}}}{4} = 3M{G^2} - \frac{{{a^2}}}{2}\)\( \Rightarrow MG = \frac{a}{2}\).

Suy ra, điểm \(M\) nằm trên đường tròn tâm \(G\) bán kính \(\frac{a}{2}\).

Chọn C.