YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Cho parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = 2mx - m + 2 (d).
    a) Với m = - 1. Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P).
    b) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m. Gọi (x1;y1); (x2;y2) là toạ độ giao điểm của (d) và (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B = x_1^2 + x_2^2 - {y_1}.{y_2} - 1\)

    Lời giải tham khảo:

    a) Với m = - 1  ta có y = - 2x + 3 (d).

    Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình

    x2 = - 2x + 3 \( \Leftrightarrow \) x+ 2x - 3 = 0 (1).

    Giải phương trình (1) ta được x= 1; x= - 3

    Với x= 1 \( \Rightarrow \) y= 1 ;       

    x= - 3 \( \Rightarrow \) y2 = 9

    Vậy toạ độ giao điểm của (P) và (d) là (1;1); (-3; 9)

    b) Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: x2 = 2mx - m + 2 ( \Leftrightarrow \) x2 - 2mx + m - 2 = 0 (2)

    Phương trình (2) có:

    \(\Delta '\) = m2 - m + 2

    Mà \(\Delta ' = m^2 - m + 2 = (m - \frac{1}{2})^2+ \frac{7}{4}> 0\) với mọi m

     \( \Rightarrow \) phương trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

      Vậy (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.

    Gọi (x1;y1); (x2;y2) là toạ độ giao đểm của (d) và (P).

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B = x_1^2 + x_2^2 - {y_1}.{y_2} - 1\)

    +) Vì (x1;y1); (x2;y2) là toạ độ giao điểm của (P) và (d) nên y= x12; y2 = x22

    Suy ra \(B = x_1^2 + x_2^2 - {y_1}.{y_2} - 1 = x_1^2 + x_2^2 - x_1^2.x_2^2 - 1 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2} - {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - 1\)

    +) Vì x1; x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P) nên x1; x2 là nghiệm của phương trình x2 - 2mx + m - 2 = 0 (2). Theo câu b phương trình này luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m, theo định lý Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
    {x_1} + {x_2} = 2m\\
    {x_1}.{x_2} = m - 2
    \end{array} \right.\)

    +) Nên B = 4m2 - 2m + 4 - (m -2)2- 1= 3m2 + 2m - 1

               = \(3\left( {{m^2} + 2.\frac{1}{3}m + \frac{1}{9}} \right) - \frac{4}{3} = 3{\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} - \frac{4}{3}\)

    Mà \({\left( {m + \frac{1}{3}} \right)^2} \ge 0\) với mọi m \( \Rightarrow B \ge  - \frac{4}{3}\) với mọi m.

     Dấu “=” xảy ra khi \(m =  - \frac{1}{3}\)                                                 

    Vậy min B = \(  - \frac{4}{3}\)  khi \(m =  - \frac{1}{3}\)       

    ATNETWORK

Mã câu hỏi: 150252

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON