Cho Parabol \(\left( P \right):y={{x}^{2}}\) và đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(A\left( 0;3 \right)\), bán kính \(\sqrt{5}\) như hình vẽ. Diện tích phần được tô đậm giữa \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\) gần nhất với số nào dưới đây? ​

Phương trình \(\left( C \right): {{x}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}=5\).

Tọa độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( C \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\\ y = {x^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\\ y = {x^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} y = 1\\ y = 4 \end{array} \right.\\ y = {x^2} \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ y = 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 1 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = - 2\\ y = 4 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = - 2\\ y = 4 \end{array} \right. \end{array} \right.\)

Vậy tọa độ các giao điểm là \(\left( 1\,;\,1 \right), \left( -1\,;\,1 \right), \left( -2\,;\,4 \right), \left( 2\,;\,4 \right)\).

Ta có: \(S = 2\left( {{S_1} + {S_2}} \right)\).

Tính S₁: \({x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\,\,(C)\,\,\, \Rightarrow y = 3 - \sqrt {5 - {x^2}} \).

\( \Rightarrow {S_1} = \int\limits_0^1 {\left[ {\left( {3 - \sqrt {5 - {x^2}} } \right) - {x^2}} \right]} {\rm{d}}x \approx 0,5075\)

Tính S₂: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 5\,\,(C)\, \Rightarrow x = \sqrt {5 - {{\left( {y - 3} \right)}^2}} \\ y = {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow x = \sqrt y \end{array} \right.\).

\( \Rightarrow {S_2} = \int\limits_1^4 {\left[ {\sqrt {5 - {{\left( {y - 3} \right)}^2}}  - \sqrt y } \right]} {\rm{d}}y \approx 1,26\)

Vậy \(S = 2\left( {{S_1} + {S_2}} \right) \approx 3,54\)