Cho hình chóp S.ABC có (SA = SB = a,SC = 3a,widehat {ASB} = widehat {CSB} = {60^0},widehat {CSA} = {90^0})

Xét bài toán tổng quát với \(SA = a;SB = b;SC = c\) và \(\widehat {ASB} = \alpha ,\widehat {CSB} = \beta ,\widehat {CSA} = \gamma \)

Ta có: \(\overrightarrow {SG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC} } \right) \Rightarrow S{G^2} = \frac{1}{9}{\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC} } \right)^2}\)

\( = \frac{1}{9}\left( {S{A^2} + S{B^2} + S{C^2} + \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} } \right) = \frac{1}{9}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab\cos \alpha  + 2bc\cos \beta  + 2ca\cos \gamma } \right).\)

Áp dụng suy ra \(SG = \frac{{a\sqrt {15} }}{3}.\)