Cho hàm số y=ax^+bx^2+cx+d có đồ thị như hình vẽ bên a > 0,b < 0,c > 0,d < 0

Dựa vào đồ thị hàm số, ta có các nhận xét sau:

+ Ta thấy rằng $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \Rightarrow$ hệ số a > 0.

+ Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm $A(x_{A};0)$ với ${x_A} > 0$ chính là điểm uốn của đồ thị hàm số.

+ Do đó $y' = 3a{x^2} + 2bx + c \Rightarrow y'' = 6ax + 2b \Rightarrow y''({x_A}) = 0 \Leftrightarrow b = - 3a.{x_A} < 0.$

+ Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm $B(0;{y_B})$ với ${y_B} < 0 \Rightarrow {y_B} = d < 0.$ 

+ Hàm số đã cho đồng biến trên $\Rightarrow y' \ge 0;\forall x \in \Rightarrow {b^2} - 4ac < 0$ mà $a > 0 \Rightarrow c > 0.$