Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-4m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( \sqrt[3]{f\left( x \right)+m} \right)={{x}^{3}}-m\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 1;2 \right]?\)

Đặt \(u=\sqrt[3]{f\left( x \right)+m}\Leftrightarrow {{u}^{3}}=f\left( x \right)+m\Leftrightarrow {{u}^{3}}-m=f\left( x \right).\)

Ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( u \right) = {x^3} - m\\ f\left( x \right) = {u^3} - m \end{array} \right. \Rightarrow f\left( u \right) = {x^3} - {u^3} \Leftrightarrow f\left( u \right) + {u^3} = f\left( x \right) + {x^3}\left( * \right)\)

Xét \(g\left( t \right)=f\left( t \right)+{{t}^{3}},g'\left( t \right)=f'\left( t \right)+3{{t}^{2}}=5{{t}^{4}}+12{{t}^{2}}\ge 0,\forall t\in \mathbb{R},\) suy ra hàm số \(g\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

\(\left( * \right)\Leftrightarrow g\left( u \right)=g\left( x \right)\Leftrightarrow u=x.\)

Suy ra: \(x=\sqrt[3]{g\left( x \right)+m}\Leftrightarrow {{x}^{3}}=f\left( x \right)+m\Leftrightarrow {{x}^{3}}={{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-4m+m\)

\(\Leftrightarrow 3m={{x}^{5}}+2{{x}^{3}}.\)

Xét hàm số \(h\left( x \right)={{x}^{5}}+2{{x}^{3}}.\) Để phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 1;2 \right]\) thì \(\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,h\left( x \right)\le 3m\le \underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,h\left( x \right).\)

Ta có: \(h'\left( x \right)=5{{x}^{4}}+6{{x}^{2}}>0,\forall x\in \left[ 1;2 \right],\) suy ra \(h\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ 1;2 \right].\)

Suy ra: \(\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,h\left( x \right)=h\left( 1 \right)=3,\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,h=h\left( 2 \right)={{2}^{5}}+{{2.2}^{3}}=32+16=48.\)

Vậy: \(3\le 3m\le 48\Leftrightarrow 1\le m\le 16.\)