Cho $\Delta A B C$. Lấy các điểm M, N, P sao cho ​$\overrightarrow{M B}=3 \overrightarrow{M C}, \overrightarrow{N A}+3 \overrightarrow{N C}=\overrightarrow{0}, \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}=\overrightarrow{0}$. Đẳng thức nào sau đây là điều kiện cần và đủ để M, N, P thẳng hàng

$\overrightarrow{A P}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B} ; \overrightarrow{A N}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{M B}=3 \overrightarrow{M C} \Rightarrow \overrightarrow{A M}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A C}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$

Do đó 

$\begin{array}{l} \overrightarrow{M P}=\overrightarrow{A P}-\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A B}-\frac{3}{2} \overrightarrow{A C}(1) \\ \overrightarrow{M N}=\overrightarrow{A N}-\overrightarrow{A M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}-\frac{3}{4} \overrightarrow{A C}(2) \end{array}$

Từ (1), (2) $\Rightarrow \overrightarrow{M P}=2 \overrightarrow{M N} \Rightarrow$ M, N, P thẳng hàng.