Cho bất phương trình: \({x^2} + mx + {m^2} + 6m < 0\) .Để bất phương trình nghiệm đúng \(\forall x \in \left( {1;2} \right)\) thì giá trị nguyên nhỏ nhất của \(m\) là:

Xét tam thức: \(f\left( x \right) = {x^2} + mx + {m^2} + 6m\)

Để \(f\left( x \right) < 0\forall x \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow {x_1} < 1 < 2 < {x_2}\)  trong đó \({x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2}\) là hai nghiệm của tam thức.

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = {\rm{\;}} - m}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} + 6m}\end{array}} \right.\)

Từ đây ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\{x_1} < 1 < {x_2}\\{x_1} < 2 < {x_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) < 0\\\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4\left( {{m^2} + 6m} \right) > 0\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0\\{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3{m^2} - 24m > 0\\{m^2} + 6m + m + 1 > 0\\{m^2} + 6m + 2m + 4 < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 8 < m < 0\\\frac{{ - 7 - 3\sqrt 5 }}{2} < m < \frac{{ - 7 + 3\sqrt 5 }}{2}\\ - 4 - 2\sqrt 3  < m <  - 4 + 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 7 - 3\sqrt 5 }}{2} < m <  - 4 + 2\sqrt 3 \)

Mà \(m\) nguyên nên \(m = {\rm{\;}} - 6\).

Chọn B.