Câu III: Cho hai số thực x, y thỏa mãn:\(x - 3\sqrt {x + 1}  = 3\sqrt {y + 2}  - y\) .

Với mọi a, b ta có: \({a^2} + {b^2} \ge 2ab \Rightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge {\left( {a + b} \right)^2}\left( 1 \right)\)

Dấu bằng của (1) xảy ra khi a = b

Ta có: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{x - 3\sqrt {x + 1}  = 3\sqrt {y + 2}  - y \Rightarrow x + y = 3\left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 2} } \right)}
\end{array}\)

Áp dụng (1) được 

\(\begin{array}{l}
{\left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 2} } \right)^2} \le 2\left( {x + y + 3} \right)\\
 \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} = 9{\left( {\sqrt {x + 1}  + \sqrt {y + 2} } \right)^2} \le 18\left( {x + y + 3} \right)\\
 \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 18\left( {x + y} \right) - 54 \le 0\\
 \Rightarrow x + y \le 9 + 3\sqrt {15} 
\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = 9 + 3\sqrt {15} \\
\sqrt {x + 1}  = \sqrt {y + 2} 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + \frac{3}{2}\sqrt {15} \\
y = 4 + \frac{3}{2}\sqrt {15} 
\end{array} \right.\)

Vậy giá trị lớn nhất biểu thức P = x + y bằng \(9 + 3\sqrt {15} \)