Một số bài tập điển hình của phép vị tự và phép quay

 

BÀI TẬP PHÉP QUAY HÌNH HỌC 11

 

Các em có thể đăng nhập Hoc247.net để tải file PDF tài liệu về máy.

 

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;0). Xác định tọa độ ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay bằng \(\frac{\pi }{2}\).

                                                                        Bài giải

Giả sử A’(x;y) là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay \(\frac{\pi }{2}\).

Khi đó theo định nghĩa phép quay ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA' = OA\\\overrightarrow {OA'} .\overrightarrow {OA}  = 0\end{array} \right.\).

Với \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA'}  = \left( {x;y} \right)\\\overrightarrow {OA}  = \left( {1;0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA' = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \\OA = 1\end{array} \right.\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA' = OA\\\overrightarrow {OA'} .\overrightarrow {OA}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {y^2}}  = 1\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\{y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow {\rm A}{\rm{'}}\left( {{\rm{0;1}}} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {0; - 1} \right)\end{array} \right.\)

Do phép quay theo chiều dương nên tọa độ điểm A’ là A’(0;1).

 

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(1;3). Xác định tọa độ ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay bằng \(\frac{\pi }{2}\).

                                                                        Bài giải

Giả sử A’(x;y) là ảnh của điểm A qua phép quay tâm O góc quay \(\frac{\pi }{2}\).

Khi đó theo định nghĩa phép quay ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OA' = OA\\\overrightarrow {OA'} .\overrightarrow {OA}  = 0\end{array} \right.\). 

Với \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA'}  = \left( {x;y} \right)\\\overrightarrow {OA}  = \left( {1;3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA' = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \\OA = \sqrt {10} \end{array} \right.\).

Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}OA' = OA\\\overrightarrow {OA'} .\overrightarrow {OA}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + {y^2}}  = \sqrt {10} \\x + 3y = 0\end{array} \right.\)              

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 10\\x =  - 3y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} = 1\\x =  - 3y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3y\\\left[ \begin{array}{l}y = 1\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow {\rm A}{\rm{'}}\left( {{\rm{ - 3;1}}} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {3; - 1} \right)\end{array} \right.\)

Do phép quay theo chiều dương nên tọa độ điểm A’ là A’(-3;1).

 

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;1). Xác định tọa độ ảnh của điểm A qua phép quay tâm I(1;-2) góc quay bằng -\(\frac{\pi }{2}\).

                                                                        Bài giải

Giả sử A’(x;y) là ảnh của điểm A qua phép quay tâm I góc quay -\(\frac{\pi }{2}\).

Khi đó theo định nghĩa phép quay ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IA' = IA\\\overrightarrow {IA'} .\overrightarrow {IA}  = 0\end{array} \right.\).

Với \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {IA'}  = \left( {x - 1;y + 2} \right)\\\overrightarrow {IA}  = \left( {1;3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA' = \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \\IA = \sqrt {10} \end{array} \right.\).

             \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}IA' = IA\\\overrightarrow {IA'} .\overrightarrow {IA}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}}  = \sqrt {10} \\x - 1 + 3y + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 =  - \left( {3y + 6} \right)\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3y - 5\\{y^2} + 4y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3y - 5\\\left[ \begin{array}{l}y =  - 1\\y =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 2; - 1} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {4; - 3} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Do phép quay thực hiện theo chiều âm nên tọa độ điểm A’ là A’(4;-3).

 

BÀI TẬP PHÉP VỊ TỰ HÌNH HỌC 11

Phương pháp:

Cho điểm M(x;y), có ảnh M’(x’;y’) qua phép vị tự tâm I tỉ số k.

Ta có \(\overrightarrow {IM'}  = k\overrightarrow {IM} {\rm{  }}\left( {\rm{1}} \right)\).

Từ (1) ta tìm được tọa độ M’ là ảnh của M.

Từ đó ta cũng tìm được phương trình của ảnh của đường (C) đã cho.

 

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy hai điểm A(4;5) và I(3;-2). Tìm ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k=3.

                                                                        Bài giải

Gọi A’(x;y) là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k=3.

Ta có \(\overrightarrow {IA'}  = 3\overrightarrow {IA} {\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x - }}{{\rm{x}}_{\rm{I}}} = 3.\left( {{x_A} - {x_I}} \right)\\{\rm{y - }}{{\rm{y}}_{\rm{I}}} = 3.\left( {{y_A} - {y_I}} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 3\left( {4 - 3} \right)\\y + 2 = 3\left( {5 + 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 19\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {6;19} \right)\).

Vậy: Ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỉ số k=3 là A’(6;19).

 

Bài 2: Tìm ảnh của đường thẳng d: 2x-5y+3=0 qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-3.

Bài giải

Gọi M(x;y) là một điểm bất kì nằm trên đường thẳng d: 2x-5y+3=0.

Gọi M’(x’;y’) là ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-3.

Ta có \(\overrightarrow {OM'}  =  - 3\overrightarrow {OM} {\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x'}} =  - 3x\\{\rm{y'}} =  - 3y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x =  - }}\frac{{{\rm{x'}}}}{{\rm{3}}}\\y =  - \frac{{y'}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {{\rm{ - }}\frac{{{\rm{x'}}}}{{\rm{3}}};{\rm{ - }}\frac{{{\rm{y'}}}}{{\rm{3}}}} \right).\)

Do điểm \(M\left( {{\rm{ - }}\frac{{{\rm{x'}}}}{{\rm{3}}};{\rm{ - }}\frac{{{\rm{y'}}}}{{\rm{3}}}} \right) \in d:2x - 5y + 3 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\left( { - \frac{{x'}}{3}} \right) - 5\left( { - \frac{{y'}}{3}} \right) + 3 = 0 \Leftrightarrow  - 2x' + 5y' + 9 = 0 \Leftrightarrow M' \in d': - 2x + 5y + 9 = 0.\)

Vậy: Phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỉ số k=-3 là: -2x+5y+9=0.

Bài 3: Tìm ảnh của đường tròn (C): \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.

Bài giải

Cách 1:
Gọi \(M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1.\)

Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.

Ta có \(\overrightarrow {OM'}  = 2\overrightarrow {OM} {\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x'}} = 2x\\{\rm{y'}} = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x = }}\frac{{{\rm{x'}}}}{{\rm{2}}}\\y = \frac{{y'}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{{\rm{x'}}}}{{\rm{2}}};\frac{{{\rm{y'}}}}{{\rm{2}}}} \right).\)

Do \(M\left( {\frac{{{\rm{x'}}}}{{\rm{2}}};\frac{{{\rm{y'}}}}{{\rm{2}}}} \right) \in \left( C \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\).

Nên: \({\left( {\frac{{x'}}{2} - 4} \right)^2} + {\left( {\frac{{y'}}{2} + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {\left( {x' - 8} \right)^2} + {\left( {y' + 2} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow M' \in \left( {C'} \right):{\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\).

Vậy: \(\left( {C'} \right):{\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.

Cách 2:
Đường tròn (C) có tâm I(4;-1) và bán kính R=1.

Gọi I’(x;y) là ảnh của I qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.

Ta có: \(\overrightarrow {OI'}  = 2\overrightarrow {OI} {\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} = 2{x_I}\\{\rm{y}} = 2{y_I}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x = 8}}\\y =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow {\rm I}{\rm{'}}\left( {{\rm{8; - 2}}} \right).\)

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2. Khi đó (C’) có bán kính R’=2R=2.

Do đó (C’) có phương trình là\(:{\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 4\).

 

Bài 4: Cho \(\left( {{C_1}} \right):{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {y^2} + 4x - 2y - 4 = 0\). Viết phương trình ảnh của các đường tròn trên. 1. Qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=2. 2. Qua phép vị tự tâm A(1;1), tỉ số k=-2.

Bài giải

1. Viết phương trình ảnh của\(\left( {{C_1}} \right)\). Qua phép vị tự tâm O, tỉ số k=2.

Cách 1:

Gọi \(M\left( {x;y} \right) \in \left( {{C_1}} \right):{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {y^2} + 4x - 2y - 4 = 0.\)

Gọi M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.

Ta có \(\overrightarrow {OM'}  = 2\overrightarrow {OM} {\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x'}} = 2x\\{\rm{y'}} = 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x = }}\frac{{{\rm{x'}}}}{{\rm{2}}}\\y = \frac{{y'}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{{\rm{x'}}}}{{\rm{2}}};\frac{{{\rm{y'}}}}{{\rm{2}}}} \right).\)

Do \(M\left( {\frac{{{\rm{x'}}}}{{\rm{2}}};\frac{{{\rm{y'}}}}{{\rm{2}}}} \right) \in \left( C \right):{{\rm{x}}^{\rm{2}}} + {y^2} + 4x - 2y - 4 = 0\).

Nên:\({\left( {\frac{{x'}}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{y'}}{2}} \right)^2} + 4.\frac{{x'}}{2} - 2\frac{{y'}}{2} - 4 = 0 \Leftrightarrow x{'^2} + y{'^2} + 8x' - 4y' - 16 = 0\).

Vậy: \(\left( {C'} \right):{x^2} + {y^2} + 8x - 4y - 16 = 0\) là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.

Cách 2:
Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm I(-2;1) và bán kính R=3.

Gọi I’(x;y) là ảnh của I qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.

Ta có \(\overrightarrow {OI'}  = 2\overrightarrow {OI} {\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x}} = 2{x_I}\\{\rm{y}} = 2{y_I}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x =  - 4}}\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow {\rm I}{\rm{'}}\left( { - 4;2} \right).\)

Gọi (C’) là ảnh của (C₁) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2. Khi đó (C’) có bán kính R’=2R=6.

Do đó (C’) có phương trình là\(:{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 36\).

2. Viết phương trình ảnh của\(\left( {{C_1}} \right)\). Qua phép vị tự tâm A, tỉ số k=-2.

Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm I(-2;1) và bán kính R=3.

Gọi I’(x;y) là ảnh của I qua phép vị tự tâm A, tỉ số k=-2.

Ta có \(\overrightarrow {AI'}  =  - 2\overrightarrow {AI} {\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x - 1}} =  - 2\left( { - 2 - 1} \right)\\{\rm{y - 1}} =  - 2\left( {1 - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{x = 7}}\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow {\rm I}{\rm{'}}\left( {7;1} \right).\)

Gọi (C’) là ảnh của (C₁) qua phép vị tự tâm A tỉ số k=-2. Khi đó (C’) có bán kính R’=\(\left| { - 2} \right|\)R=6.

Do đó (C’) có phương trình là\(:{\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 36.\)

 

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích được cho các em trong quá trình học tập.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kì thi!