Bài tập trắc nghiệm về Phương pháp quy nạp toán học có lời giải chi tiết

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

A. LÝ THUYẾT

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số nguyên dương n là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:

- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.

- Bước 2: Giả thiết rằng mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ \(n = k \ge 1\) (gọi là giả thiết quy nạp). Bằng kiến thức đã biết và giả thiết quy nạp, chứng minh rằng mệnh đề đó cũng đúng với n = k + 1.

B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH

Ví dụ 1.Với mối số nguyên dương n, đặt \(S = {1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. \(S = \frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{6}\).                                                          B. \(S = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{3}\).           

C. \(S = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\).                                                         D. \(S = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{2}\).

Đáp án C.

Lời giải

Cách 1: Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng mọi \(n \in {N^*}\), ta có đẳng thức \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}.\)

- Bước 1: Với  thì vế trái bằng 1² = 1, vế phải bằng \(\frac{{1(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6} = 1\).

Vậy đẳng thức đúng với n = 1.

-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với \(n = k \ge 1\), tức là chứng minh:

\({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)\left[ {(k + 1) + 1} \right]\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6} = \frac{{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}}{6}.\)

Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là chứng minh:

\({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)\left[ {(k + 1) + 1} \right]\left[ {2(k + 1) + 1} \right]}}{6} = \frac{{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}}{6}.\)

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có

\({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2}.\)

Mà \(\frac{{(k + 1)(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1) + 6{{(k + 1)}^2}}}{6} = \frac{{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}}{6}.\)

Suy ra \({1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}}{6}.\)

Do đó đẳng thức đúng với n = k + 1. Suy ra có điều phải chứng minh.

Vậy phương án đúng là C.

Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của n.

+ Với n = 1 thì \(S = {1^2} = 1\) (loại được các phương án B và D);

+ Với n = 2 thì \(S = {1^2} + {2^2} = 5\) (loại được phương án A).

Vậy phương án đúng là C.

{-- xem toàn bộ nội dung Bài tập trắc nghiệm về Phương pháp quy nạp toán học có lời giải chi tiết​ ở phần xem online hoặc tải về --}

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Bài tập trắc nghiệm về Phương pháp quy nạp toán học có lời giải chi tiết. Để xem toàn bộ nội dung tài liệu các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính. 

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em trong học sinh lớp 11 ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong các kì thi sắp tới.