Phương pháp tìm tự tương giao của hàm số phân thức

Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\left( C \right)\) và đường thẳng \(d:y = px + q\). Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

\(\frac{{ax + b}}{{cx + d}} = px + q \Leftrightarrow F\left( {x,m} \right) = 0\) (phương trình bậc 2 ẩn x tham số m).

Các câu hỏi thường gặp:

1. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác \( - \frac{d}{c}\).

2. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh phải của (C) \(\Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) và thỏa mãn \(: - \frac{d}{c} < x_1^{} < {x_2}\).

3. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt cùng thuộc nhánh trái của (C) \(\Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) và thỏa mãn \(x_1^{} < {x_2} < - \frac{d}{c}\).

4. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh của (C) \(\Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) và thỏa mãn \(x_1^{} < - \frac{d}{c} < {x_2}\).

5. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A và B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước:

+) Đoạn thẳng \(AB = k\)

+) Tam giác \(ABC\) vuông.

+) Tam giác ABC có diện tích \({S_0}\)

Quy tắc:

+) Tìm điều kiện tồn tại A, B \(\Leftrightarrow \) (1) có 2 nghiệm phân biệt.

+) Xác định tọa độ của A và B (chú ý Vi ét)

+) Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m. Từ đó suy ra m.

Chú ý: Công thức khoảng cách:

+) \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right):AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_{_B}} - {y_A}} \right)}^2}} \)

+) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M\left( {{x_0};{y_0}} \right)}\\{\Delta :A{x_0} + B{y_0} + C = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }}\)

Ví dụ: Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

A. \(0\). 

B. \( - 1\). 

C. \(1\). 

D. \(2\).

Lời giải

Chọn B

Đồ thị hàm số cắt trục tung thỏa mãn \(x = 0 \Rightarrow y = - 1\)

Câu 1. Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - \frac{{{x^4}}}{2} + {x^2} + \frac{3}{2}\) với trục hoành là

A. \(1\). 

B. \(2\). 

C. \(3\). 

D. \(4\).

Lời giải:

Chọn B

\( - \frac{{{x^4}}}{2} + {x^2} + \frac{3}{2} = 0\)\(\Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} - 3 = 0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = - 1\\{x^2} = 3\end{array} \right.\)\(\Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3 \).

Vậy phương trình có \(2\) nghiệm nên đồ thị cắt trục hoành tại \(2\) điểm

Câu 2. Hoành độ giao điểm của đồ thị \((C)\): \(y = \frac{{2x + 1}}{{2x - 1}}\) và đường thẳng \(d:y = x + 2.\)

A. \(x = - \frac{3}{2};x = 1\). 

B. \(x = - \frac{1}{2};x = 1\) 

C. \(x = - 2;x = \frac{1}{2}\). 

D. \(x = \frac{3}{2};x = 1\).

Lời giải

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{2x + 1}}{{2x - 1}} = x + 2\(\(\left( 1 \right)\)

Điều kiện: \(x \ne \frac{1}{2}\). Khi đó \((1)\)\(\Leftrightarrow  2x + 1 = \left( {2x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)\(\Leftrightarrow 2{x^2} + x - 3 = 0\)

\(\Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\x = 1\end{array} \right.\)

Câu 3. Giao điểm giữa đồ thị \((C):y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 1}}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x + 1\) là

A. \(A\left( { - 1;0} \right)\) 

B. \(A\left( {3;0} \right)\) 

C. \(A\left( {1;0} \right)\) 

D. \(A\left( { - 3;0} \right)\)

Lời giải.

Chọn A

Lập phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 1}} = x + 1 \Leftrightarrow x = - 1 \Rightarrow y = 0\).

Vậy chọn \(\left( { - 1;\,\,0} \right)\).

Câu 4. Tọa độ giao điểm giữa đồ thị \((C):y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}\) và đường thẳng \(d:y = x - 2\) là

A. \(A\left( { - 1; - 3} \right),\,{\rm{ }}B\left( {3;1} \right).\) 

B. \(A\left( {1;3} \right),\,{\rm{ }}B\left( {3;1} \right).\)

C. \(A\left( {1; - 3} \right),\,{\rm{ }}B\left( {3;1} \right).\) 

D. \(A\left( { - 1; - 3} \right),\,{\rm{ }}B\left( {3;1} \right).\)

Lời giải:

Chọn A

Lập phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{2x - 1}}{{x + 2}} = x - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \Rightarrow y = 1\\x = - 1 \Rightarrow y = - 3\end{array} \right.\) .

Vậy chọn \(A\left( { - 1; - 3} \right),\,{\rm{ }}B\left( {3;1} \right).\)

Câu 5. Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(MN\) với \(M,{\rm{ }}N\) là giao điểm của đường thẳng \(d\):\(y = x + 1\) và đồ thị hàm số \((C)\):\(y = \frac{{2x + 2}}{{x - 1}}\) là

A. \(I\left( { - 1; - 2} \right).\) 

B. \(I\left( { - 1;2} \right).\) 

C. \(I\left( {1;2} \right).\) 

D. \(I\left( {1; - 2} \right).\)

Lời giải:

Chọn C

Lập phương trình hoành độ giao điểm \(\frac{{2x + 2}}{{x - 1}} = x + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \Rightarrow y = 4\\x = - 1 \Rightarrow y = 0\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;2} \right).\)

Vậy chọn \(I\left( {1;2} \right).\)

Câu 6. Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \((C)\) và đường thẳng \(d\): \(y = 2x - 3\). Đường thằng \(d\) cắt \((C)\) tại hai điểm \(A\) và \(B\). Khoảng cách giữa \(A\) và \(B\) là

A. \(AB = \frac{2}{5}.\) 

B. \(AB = \frac{5}{2}.\) 

C. \(AB = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}.\) 

D. \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}.\)

Lời giải

Chọn D

Phương pháp tự luận

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \((C)\)và đường thẳng \(d\)

\(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\2{x^2} - 3x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow y = 1{\rm{ }} \Rightarrow A(2;1)\\x = - \frac{1}{2} \Rightarrow y = - 4{\rm{ }} \Rightarrow B\left( { - \frac{1}{2}; - 4} \right)\end{array} \right.\)

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - \frac{5}{2}; - 5} \right)\). Suy ra \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}\). Vậy chọn \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}\).

Phương pháp trắc nghiệm

Phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2x - 3{\rm{ }}(x \ne - 1)\).

Dùng lệnh CALC của máy tính, ta tìm được hai nghiệm của phương trình lần lượt là \(x = 2\) và \(x = - \frac{1}{2}\). Suy ra \(A(2;1)\) và \(B\left( { - \frac{1}{2}; - 4} \right)\). Dùng máy tính thu được \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}\).

Vậy chọn \(AB = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}\).

Câu 7. Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \((C)\) và đường thẳng \(d\):\(y = x + m\). Giá trị của tham số m để \(d\) cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho \(AB = \sqrt {10} \) là

A. \(m = 0\) hoặc \(m = 6.\) 

B. \(m = 0.\)

C. \(m = 6.\) 

D. \(0 \le m \le 6.\)

Lời giải:

Chọn A

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \((C)\) và đường thẳng \(d\)

\(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x + m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\{x^2} + (m - 1)x + m - 1 = 0\;\;(1)\end{array} \right.\)

Khi đó \(d\) cắt \((C)\) tại hai điểm phân biệt \(A\),\(B\) khi và chi khi phương trình \((1)\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(m - 1)^2} - 4(m - 1) > 0\\{( - 1)^2} - (m - 1) + m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 1 \vee m > 5{\rm{ }}(*)\)

Khi đó ta lại có

\(A({x_1};{x_1} + m),B({x_2};{x_2} + m) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = ({x_2} - {x_1};{x_2} - {x_1}) \Rightarrow AB = \sqrt {2{{({x_2} - {x_1})}^2}} = \sqrt 2 \left| {{x_2} - {x_1}} \right|\),

và \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1 - m\\{x_1}{x_2} = m - 1\end{array} \right.\).

Từ đây ta có

\(AB = \sqrt {10} \Leftrightarrow \left| {{x_2} - {x_1}} \right| = \sqrt 5 \Leftrightarrow {({x_2} + {x_1})^2} - 4{x_1}{x_2} = 5\)

\(\Leftrightarrow {(1 - m)^2} - 4(m - 1) = 5 \Leftrightarrow {m^2} - 6m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 6\end{array} \right.\) (thỏa \((*)\))

Vậy chọn \(m = 0 \vee m = 6\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là toàn bộ nội dung Phương pháp tìm tự tương giao của hàm số phân thức. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm sự tương giao của đồ thị bậc ba

• Phương pháp tìm sự tương giao của hàm số bậc bốn

Chúc các em học tập tốt!