Bài tập 9 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo - CTST

a) Ta có: tan³α + cot³α

= (tanα + cotα)³ ‒ 3tanα.cotα.(tanα + cotα)

= (tanα + cotα)³ ‒ 3.(tanα + cotα)

= 2³ ‒ 3.2 = 2.

b) Ta có: (sinα + cosα)² = sin²α + cos²α + 2 sinαcosα = 1 + 2 sinαcosα.

Do đó $\text{sin}\alpha \text{cos}\alpha =\frac{1}{2}\left[{(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha )}^2-1\right]=\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{1}{4}\right)}^2-1\right]=-\frac{15}{32}$

c) Ta có: sin³α + cos³α

= (sinα + cosα)(sin²α ‒ sinαcosα + cos²α)

= (sinα + cosα)(1 ‒ sinαcosα)

Mà $\text{sin}\alpha \text{.cos}\alpha =\frac{1}{2}\left[{(\text{sin}\alpha +\text{cos}\alpha )}^2-1\right]=\frac{1}{2}\left[{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-1\right]=-\frac{3}{8}$.

Nên ${\text{sin}}^3\alpha +{\text{cos}}^3\alpha =\frac{1}{2}\cdot \left[1-\left(-\frac{3}{8}\right)\right]=\frac{1}{2}\cdot \frac{11}{8}=\frac{11}{16}$

-- Mod Toán 11 HỌC247