Bài tập 21 trang 55 SGK Hình học 11 NC

Định lí Menelaus

Giả sử đường thẳng Δ cắt các cạnh (hoặc phần kéo dài) BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P thì :

\(\frac{{MB}}{{MC}}.\frac{{NC}}{{NA}}.\frac{{PA}}{{PB}} = 1\)

Áp dụng định lí để giải bài toán

Gọi {I} = PR ∩ AC

Trong mp(ACD) gọi {S} = QI ∩ AD

Thì {S} = AD ∩ (PQR)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ABC với cát tuyến PRI ta có

\(\frac{{PA}}{{PB}}.\frac{{RB}}{{RC}}.\frac{{IC}}{{IA}} = 1 \Rightarrow 1.2.\frac{{IC}}{{IA}} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{IC}}{{IA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \) C là trung điểm của AI.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACD với cát tuyến IQS ta có :

\(\frac{{IC}}{{IA}}.\frac{{QD}}{{QC}}.\frac{{SA}}{{SD}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}.1.\frac{{SA}}{{SD}} = 1\)

⇒ SA = 2SD (ĐPCM).

-- Mod Toán 11 HỌC247