Bài tập 22 trang 55 SGK Hình học 11 NC

a) Trong mp(ABN) gọi A’ là giao điểm của AG với trung tuyến BN của ΔBCD. Chứng minh :

A’B = 2A’N

Áp dụng định lí Menelaus trong ΔBMN với cát tuyến AGA’ có :

\(\begin{array}{l}
\frac{{AM}}{{AB}}.\frac{{GN}}{{GM}}.\frac{{A\prime B}}{{A\prime N}} = 1\\
 \Rightarrow \frac{1}{2}.1.\frac{{A\prime B}}{{A\prime N}} = 1\\
 \Rightarrow A\prime B = 2A\prime N
\end{array}\)

Vậy A’ là trọng tâm của ΔBCD

Tương tự BG ,CG, DG lần lượt đi qua trọng tâm B’, C’, D’ của tam giác ACD, ABD, ABC.

b) Chứng minh GA = 3GA’

Áp dụng định lí Menelaus trong ΔABA’ với cát tuyến MGN ta có :

\(\frac{{MA}}{{MB}}.\frac{{GA\prime }}{{GA}}.\frac{{NB}}{{NA\prime }} = 1 \Rightarrow 1.\frac{{GA\prime }}{{GA}}.3 = 1\)

⇒ GA = 3GA′ (ĐPCM). 

-- Mod Toán 11 HỌC247