Bài tập 48 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều - CD

a) Gọi H là trung điểm của AB.

Vì tam giác SAB vuông cân tại S nên ta có: SH ⊥ AB và SA ⊥ SB.

Dễ thấy: AB = (SAB) ∩ (ABCD).

Mà (SAB) ⊥ (ABCD), SH ⊥ AB, SH ⊂ (SAB).

Suy ra SH ⊥ (ABCD).

Hơn nữa BC ⊂ (ABCD) nên ta có SH ⊥ BC.

Do ABCD là hình chữ nhật nên BC ⊥ AB.

Ta có: BC ⊥ SH, BC ⊥ AB, SH ∩ AB = H trong (SAB)

Suy ra BC ⊥ (SAB).

Như vậy: d(C, (SAB)) = BC = AD = 3a (vì ABCD là hình chữ nhật).

b) Do ABCD là hình chữ nhật nên CD // AB.

Mà AB ⊂ (SAB), suy ra CD // (SAB).

Như vậy: d(CD, AB) = d(CD, (SAB)) = d(C, (SAB)) = 3a.

c) Theo câu a ta có BC ⊥ (SAB) mà SB ⊂ (SAB) nên BC ⊥ SB.

Hơn nữa SA ⊥ SB.

Suy ra: SB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng BC và SA.

Như vậy: d(BC, SA) = SB.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác SAB vuông cân tại S có:

SA² + SB² = AB² ⇒ 2SB² = AB² (Do SA = SB)

$\Rightarrow SB=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}.$

Vậy $d\left(BC,SA\right)=SB=a\sqrt{2}.$

d) Theo câu a ta có SH ⊥ (ABCD).

Như vậy: d(S, (ABCD)) = SH.

Xét tam giác SAB vuông tại S có đường trung tuyến SH nên ta có:

$SH=\frac{AB}{2}=\frac{2a}{2}=a.$

Vậy d(S, (ABCD)) = SH = a.

-- Mod Toán 11 HỌC247