Bài tập 49 trang 110 SBT Toán 11 Tập 2 Cánh diều
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a, AC cắt BD tại O, SO ⊥ (ABCD), SA = 2a. Tính khoảng cách:
a) Từ điểm A đến mặt phẳng (SBD);
b) Giữa hai đường thẳng SO và CD;
c) Từ điểm O đến mặt phẳng (SCD);
d*) Giữa hai đường thẳng AB và SD.
Hướng dẫn giải chi tiết Bài tập 49
a) Ta có: SO ⊥ (ABCD), AO ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ AO.
Do ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD hay AO ⊥ BD.
Ta có: AO ⊥ SO, AO ⊥ DB, SO ∩ BD = O trong (SBD)
Suy ra AO ⊥ (ABCD).
Như vây: d(A, (SBD)) = AO.
Ta có: ABCD là hình vuông cạnh a nên
Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.
Vậy
b) Gọi M là hình chiếu của O trên CD hay OM ⊥ CD.
Do SO ⊥ (ABCD), OM ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ OM.
Từ đó ta thấy OM là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SO và CD.
Như vậy: d(SO, CD) = OM.
Xét hình vuông ABCD có: OM ⊥ CD, AD ⊥ CD nên OM // AD.
Xét tam giác ACD có: OM // AD, O là trung điểm của AD.
Suy ra OM là đường trung bình của tam giác ACD nên M là trung điểm của CD
Vậy
c) Gọi H là hình chiếu của O trên SM hay OH ⊥ SM.
Do SO ⊥ (ABCD), CD ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ CD.
Ta có: CD ⊥ OM, CD ⊥ SO, SO ∩ OM = O trong (SOM)
Suy ra CD ⊥ (SOM).
Mà OH ⊂ (SOM) nên CD ⊥ OH.
Ta có: OH ⊥ SM, OH ⊥ CD, SM ∩ CD = M trong (SCD)
Suy ra OH ⊥ (SCD).
Như vậy: d(O, (SCD)) = OH.
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác SAO vuông tại O có:
SO2 = SA2 – AO2
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SOM vuông tại O, đường cao OH ta có:
Vậy
d*) Ta có: AB // CD (do ABCD là hình vuông), CD ⊂ (SCD) nên AB // (SCD).
Do đó d(AB, SD) = d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)).
Gọi K là hình chiếu của A trên (SCD) hay AK ⊥ (SCD).
Khi đó d(A, (SCD)) = AK.
Ta có: H, K lần lượt là hình chiếu của O và A trên (SCD)
Mà C, O, A thẳng hàng nên C, H, K thẳng hàng.
Lại có: OH ⊥ (SCD), AK ⊥ (SCD).
Suy ra OH // AK.
Tam giác ACK có OH // AK, nên theo hệ quả định lí Thalès ta có:
(do O là trung điểm của AC)
Vậy
-- Mod Toán 11 HỌC247
Chưa có câu hỏi nào. Em hãy trở thành người đầu tiên đặt câu hỏi.