Bài 7 trang 94 SGK Toán 11 Cánh diều Tập 1 - CD

a)

- Xét tam giác BCD có: I là trung điểm của CD nên BI là đường trung tuyến.

Mà M là trọng tâm tam giác BCD nên BI đi qua M.

Do đó M ∈ BI.

Lại có AI ⊂ (ABI) nên M ∈ (ABI).

- Xét tam giác ACD có: I là trung điểm của CD nên AI là đường trung tuyến.

Mà N là trọng tâm tam giác ACD nên AI đi qua N.

Do đó N ∈ AI.

Lại có BI ⊂ (ABI) nên N ∈ (ABI).

b) Trong $∆$BCD có M là trọng tâm tam giác nên $\frac{MI}{BI}=\frac{1}{3}$ .

Trong $∆$ACD có N là trọng tâm tam giác nên $\frac{NI}{AI}=\frac{1}{3}$ .

Xét $∆$ABI có: $\frac{NI}{AI}=\frac{MI}{BI}=\frac{1}{3}$ nên MN // AB (theo định lí Thalès đảo).

Xét $∆$ABI và MN // AB, theo hệ quả ĐL Thalès ta có $\frac{MN}{AB}=\frac{NI}{AI}=\frac{MI}{BI}=\frac{1}{3}$ .

Xét $∆$ABG và MN // AB, theo hệ quả ĐL Thalès ta có $\frac{GM}{GA}=\frac{GN}{GB}=\frac{MN}{AB}=\frac{1}{3}$ .

c)

- Gọi G’ là giao điểm của AM và CP; G’’ là giao điểm của AM và DQ.

Chứng minh tương tự câu b, ta có: $\frac{G^{\text{'}}M}{G^{\text{'}}A}=\frac{G^{\text{'}}P}{G^{\text{'}}C}=\frac{PM}{AC}=\frac{1}{3}$ và $\frac{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}M}{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}A}=\frac{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}Q}{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}D}=\frac{QM}{AD}=\frac{1}{3}$

Do đó $\frac{GM}{GA}=\frac{G^{\text{'}}M}{G^{\text{'}}A}=\frac{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}M}{{G^{\text{'}}}^{\text{'}}A}=\frac{1}{3}$ .

Mà G, G’, G’’ cùng nằm trên AM nên G ≡ G’ ≡ G’’.

Vậy các đường thẳng CP, DQ cùng đi qua điểm G.

- Xét tam giác ABC, kẻ đường trung tuyến AE (E ∈ BC).

Ta có: Q là trọng tâm DABC nên $\frac{AQ}{AE}=\frac{2}{3}$.

Xét tam giác ABD, kẻ đường trung tuyến AF (F ∈ BD).

Ta có: P là trọng tâm $∆$ABD nên $\frac{AP}{AF}=\frac{2}{3}$.

- Trong mặt phẳng (AEF), có: $\frac{AQ}{AE}=\frac{AP}{AF}=\frac{2}{3}$ nên PQ // EF (định lí Thalès đảo)

Mà EF // CD (đường trung bình tam giác BCD).

Suy ra PQ // CD

Theo hệ quả định lí Thalès ta có: $\frac{GP}{GC}=\frac{GQ}{GD}=\frac{QP}{CD}=\frac{QP}{2EF}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ .

-- Mod Toán 11 HỌC247