YOMEDIA
NONE

Với các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = ab + bc + ca\).

Với các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\).  Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = ab + bc + ca\).

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Ngoc Son

    *) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = ab + bc + ca\).

    Với mọi số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:

    \(\begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ac \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge  - 2ab - 2bc - 2ac\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge  - 2\left( {ab + bc + ac} \right)\\ \Leftrightarrow  - \frac{1}{2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \le ab + bc + ac\end{array}\)

    Mà \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) và \(P = ab + bc + ca\)

    nên \(P \ge  - \frac{1}{2}\).

    Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi

    \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 0\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\end{array} \right.\).

    Chọn \(a = \frac{1}{{\sqrt 2 }},\,\,b =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }},\,\,c = 0\).

    Vậy \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \frac{1}{2}\) khi \(a = \frac{1}{{\sqrt 2 }},\,\,b =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }},\,\,c = 0\).

    *) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = ab + bc + ca\).

    Với mọi số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) ta có:

    \(\begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} + {a^2} - 2ac + {c^2} + {b^2} - 2bc + {c^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc \ge 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} \ge 2ab + 2ac + 2bc\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + ac + bc\end{array}\)

    Mà \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) và \(P = ab + bc + ca\) nên \(P \le 1\) với mọi số thực \(a,\,\,b,\,\,c\).

    Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi

     \(\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\a - c = 0\\b - c = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow a = b = c\).

    Mà \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) suy ra

    \({a^2} = {b^2} = {c^2} = \frac{1}{3}\)\( \Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

    Vậy \(P\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(1\) khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).

      bởi Ngoc Son 15/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 8

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF