YOMEDIA
NONE

Tìm GTNN của biểu thức (x^2+1/y^2)(y^2+1/x^2)

Cho x,y >0 thỏa mãn x+y=1

Tìm GTNN của A =\(\left(x^2+\dfrac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\dfrac{1}{x^2}\right)\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Người Tìm Tương Lai

    mình khẳng định cách làm này chắc chắn đúng

    A=(x2 +1/y2)(y2 +1/x2)=(xy)2+\(\dfrac{1}{xy^2}\)+2

    ta có x+y=1 mà x+y \(\ge\)2\(\sqrt{xy}\)nên 1 \(\ge\)2\(\sqrt{xy}\)

    nên 1/2 \(\ge\)\(\sqrt{xy}\) =>1/4\(\ge\)xy=>\(\dfrac{1}{16}\)\(\ge\)(xy)2

    sau đó ta sử dụng phương pháp chọn điểm rơi để thêm bớt cho phù hợp.

    ta thấy gtnn xảy ra <=>x=y=1/2 hay (xy)2=1/16

    để bảo toàn cho giá trị nhỏ nhất xảy ra với điều kiện đè bài đã cho là x+y=1 thì ta đặt hằng số \(\alpha\)sao cho:

    đặt \(\dfrac{\alpha}{xy^2}\)=xy2

    cho xy2=\(\dfrac{1}{16}\)thì\(\alpha\)=\(\dfrac{1}{256}\)

    ta có lời giải A=(\(\dfrac{1}{xy^2}\)-\(\dfrac{\dfrac{1}{256}}{xy^2}\))+(\(\dfrac{\dfrac{1}{256}}{xy^2}\)+xy2)+2

    áp dụng bất đẳng thức cosy a2+b2\(\ge\)2ab ta có

    \(\dfrac{\dfrac{1}{256}}{xy^2}\)+xy2\(\ge\)2\(\dfrac{\dfrac{1}{16}}{xy}\).xy=\(\dfrac{1}{8}\)

    ta đã chứng minh \(\dfrac{1}{16}\)\(\ge\)xy2 nên ta có

    \(\dfrac{1}{xy^2}\)-\(\dfrac{\dfrac{1}{256}}{xy^2}\)=\(\dfrac{\dfrac{255}{256}}{xy2}\)\(\ge\)\(\dfrac{\dfrac{255}{256}}{\dfrac{1}{16}}\)=\(\dfrac{255}{16}\)

    nên A\(\ge\)\(\dfrac{1}{8}\)+\(\dfrac{255}{16}\)+2=\(\dfrac{289}{16}\)

    dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\)x=y=\(\dfrac{1}{2}\)

    vậy min A=\(\dfrac{289}{16}\)tại x=y=\(\dfrac{1}{2}\)

      bởi Người Tìm Tương Lai 30/01/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 8

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF