Chứng minh x^5y - xy^5 chia hết cho 30

\(A=x^5y-xy^5=xy\left(x^4-y^4\right)=xy\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)=xy\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(A=xy\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

Thây vì c/m A chia hết cho 30 ta chia nhỏ 30 =2.3.5

1)c/m A chia hết cho

1.1)nếu x hoặc y chẵn hiển nhiên

1.2 x và y lẻ => x-y phải chẵn {tổng đại số hai số lẻ là số chẵn}

=> A chia hết cho 2

2)c/m A chia hết cho 3

2.1)nếu x hoặc y =3k hiển nhiên

2.2 x=3k+1 và y=3t+1 => (x-y)=3(k-t) hiển nhiên chia hết cho 3

2.3 x=3k+1 và y=3t+2 => (x+y) =3(k+t+1) hiển nhiên chia hết cho 3

x,y vai trò như nhau => A chia hết cho 3 (**)

3)

c/m A chia hết cho 5

3.1)nếu x hoặc y =5k hiển nhiên

3.2 x=5k+1 và y=5t+1 => (x-y)=5(k-t) hiển nhiên chia hết cho 5

3.3 x=5k+1 và y=5t+2 => (x^2+y^2) =5(5k^2+5t^2+2k+2t+1) hiển nhiên chia hết cho 5

3.4 x=5k+1 và y=5t+3 => (x^2+y^2) =5(5k^2+5t^2+2k+2t+2) hiển nhiên chia hết cho 5

3.5 x=5k+1 và y=5t+4 => (x^2-y^2) =5(5k^2-5t^2-2k+2t-3) hiển nhiên chia hết cho 5

x,y vai trò như nhau các trường hợp khác tương tự => A chia hết cho 5 (**)

Kết luận

A chia hết cho 2,3,5 mà 2,3,5, nguyên tố => A chia hết cho 2.3.5 =30=> dpcm