YOMEDIA
NONE

Chứng minh a=b=c nếu a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca

CMR a=b=c nếu có một trong các điều kiện sau

a)a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca

b)(a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2)

c)(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)

giải CHI TIẾT nha

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Nguyễn Đình Kiên

    a) Ta có:

    \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

    \(\Leftrightarrow\) \(2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)

    \(\Leftrightarrow\) \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)

    \(\Leftrightarrow\) \(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)=0\)

    \(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\) (1)

    Ta có: (a-b)2 \(\geq\) 0; (b-c)2 \(\geq\) 0; (a-c)2 \(\geq\) 0 (2)

    (1)(2) \(\Rightarrow\) \(\begin{cases} (a-b)^{2}=0\\ (b-c)^{2}=0\\ (a-c)^{2}=0 \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} a-b=0\\ b-c=0\\ a-c=0 \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} a=b\\ b=c\\ a=c \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) a=b=c

    b) Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

    \(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=3a^2+3b^2+3c^2\)

    \(\Leftrightarrow\) \(3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ac-2bc-2ab=0\)

    \(\Leftrightarrow\) \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0\)

    \(\Leftrightarrow\) \(\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)=0\)

    \(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)

    Ta có: (a-b)2 \(\geq\) 0; (b-c)2 \(\geq\) 0; (a-c)2 \(\geq\) 0 (2)

    (1)(2) \(\Rightarrow\) \(\begin{cases} (a-b)^{2}=0\\ (b-c)^{2}=0\\ (a-c)^{2}=0 \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} a-b=0\\ b-c=0\\ a-c=0 \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} a=b\\ b=c\\ a=c \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) a=b=c

    c. Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)

    \(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=3ab+3bc+3ac\)

    \(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3ab-3bc-3ac=0\)

    \(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\)

    \(\Leftrightarrow\) \(2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)

    \(\Leftrightarrow\) \(\left(a^2-2bc+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)=0\)

    \(\Leftrightarrow\) \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=0\)

    Ta có: (a-b)2 \(\geq\) 0; (b-c)2 \(\geq\) 0; (a-c)2 \(\geq\) 0 (2)

    (1)(2) \(\Rightarrow\) \(\begin{cases} (a-b)^{2}=0\\ (b-c)^{2}=0\\ (a-c)^{2}=0 \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} a-b=0\\ b-c=0\\ a-c=0 \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} a=b\\ b=c\\ a=c \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) a=b=c

    Chúc bạn học tốt haha

      bởi Nguyễn Đình Kiên 17/11/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 8

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON