Chứng minh A=a^2+b^2/ab+1 là số chính phương
Cho a,b thuộc Z* sao cho \(A=\frac{a^2+b^2}{ab+1}\) là số nguyên . CM: A là số chính phương
Trả lời (1)
-
Lời giải:
Với những dạng bài này bạn có thể tham khảo phương pháp Viete Jumping .
Đặt \(k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}\in \mathbb{Z}\) (*)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-kab-k=0\)
Xét tập S các bộ số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn (*). Trong tập S đó ta chọn ra cặp \((a_0,b_0)\) thỏa mãn \(a_0+b_0\) min. Không mất tổng quát giả sử \(a_0\geq b_0\)
Xét PT: \(X^2-kb_0X+(b_0^2-k)=0\)
Hiển nhiên $a_0$ là một nghiệm của PT. PT còn một nghiệm \(a_1\) nữa.
Áp dụng hệ thức Viete ta có:
\(\left\{\begin{matrix} a_0+a_1=kb_0\\ a_0a_1=b_0^2-k\end{matrix}\right.\)
+) Nếu \(a_1< 0\Rightarrow a_1\leq -1\)
\(\Rightarrow 0=a_1^2-kb_0a_1+(b_0^2-k)\geq a_1^2+kb_0+b_0^2-k\)
\(\geq a_1^2+k+b_0^2-k=a_1^2+b_0^2\) (vô lý vì \(b_0\in\mathbb{Z}^+\) )
+) Nếu \(a_1=0\Rightarrow b_0^2-k=0\Leftrightarrow k=b_0^2\) là số cp hay $A$ là số chính phương (đpcm)
+) Nếu \(a_1>0\). Khi đó $(a_1,b_0)$ cũng là một cặp thuộc tập S
Theo tính chất nhỏ nhất của \(a_0+b_0\Rightarrow a_0\leq a_1\) (1)
Mà theo công thức Viete ở trên thì \(a_1=\frac{b_0^2-k}{a_0}< \frac{b_0^2}{a_0}\leq \frac{a_0^2}{a_0}=a_0\) (do \(b_0\leq a_0\) )
Điều này mâu thuẫn với (1) nên vô lý
Vậy \(A=k=b_0^2\) nên A là số chính phương.
bởi Lê nhật Truong25/12/2018
Like (0) Báo cáo sai phạm
Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản
Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng
Các câu hỏi có liên quan
-
Tìm gtln của phân thức
x^(2)+2x+1/x^2+1
06/01/2021 | 3 Trả lời
-
cho ccs số thực x,y thỏa mãn x+y=2>Tìm GTNN của biểu thức A=x^3+y^3+3*X^2*y*2
05/01/2021 | 0 Trả lời
-
tính giá trị của biểu thức 3/4xy^2(x^2+2/3xy+4/3y^2)-1/2xy(-1/2x^2y+xy^2+y^3 tại x=1/2,y=2
08/09/2020 | 0 Trả lời
-
viết phân số -7/6 dưới dạng tổng 4 phân số có tử bằng (-1) và mẫu khác nhau
07/09/2020 | 2 Trả lời
-
Giúp mk với ạ cần gấp mk cảm ơn
24/07/2020 | 1 Trả lời
-
Tỉ số giữa 2 số nguyên dương là 2/5.biết rằng hiệu của số là 33 ,tìm 2 số đó
24/04/2020 | 3 Trả lời
-
23/04/2020 | 2 Trả lời
-
Đề
15/04/2020 | 0 Trả lời
-
Giải cho mình đi
07/04/2020 | 3 Trả lời
-
Giúp em làm bài này với ạ.Em cảm ơn
04/04/2020 | 2 Trả lời
-
Câu1:Rút gọn các phân thức sau:a, 3x2y3/6x2y2b, x3 - y3/x2 - xy Câu 2: thực hiện các phép tính sau:a, 15x-3/x-y 10x-3/x-yb, 4xyz/5x . 2xy/3yc, (-7x/3xy) : (-3xy/4)Câu 3: cho phân thức 4/x tính giá trị của phân thức tại x=4 và x=0Câu 4: Biết AM = MP = PB ; AN = NQ = QC và PQ = 5cm. Tính độ dài xy?
27/03/2020 | 1 Trả lời
-
03/03/2020 | 4 Trả lời
-
a)27x3 - 27x2 + 18x – 4
23/02/2020 | 1 Trả lời
-
Cho a>b>0. Trong 2 số sau số nào lớn hơn:
03/02/2020 | 0 Trả lời
-
Giúp mik nha mn
29/01/2020 | 6 Trả lời
-
27/12/2019 | 5 Trả lời
-
B=|x-2019|-|2019-x|
04/12/2019 | 6 Trả lời
-
Tìm GTLN của:a, M=x/(x 10)^2b, N=x/(x 100)^2Giúp mk nhanh với thứ 2 Mk phải có rồi 흫_흫
29/11/2019 | 3 Trả lời
-
Giải hộ mình câu 16,17,18 phần tự luận(bài kt giữa kì)
14/11/2019 | 2 Trả lời
-
Tìm x để C mang giá trị nhỏ nhất
10/04/2019 | 1 Trả lời