ON
YOMEDIA
VIDEO

Chứng minh A=a^2+b^2/ab+1 là số chính phương

Cho a,b thuộc Z* sao cho \(A=\frac{a^2+b^2}{ab+1}\) là số nguyên . CM: A là số chính phương

Theo dõi Vi phạm
YOMEDIA

Trả lời (1)

 
 
 
  • Lời giải:

    Với những dạng bài này bạn có thể tham khảo phương pháp Viete Jumping .

    Đặt \(k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}\in \mathbb{Z}\) (*)

    \(\Leftrightarrow a^2+b^2-kab-k=0\)

    Xét tập S các bộ số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn (*). Trong tập S đó ta chọn ra cặp \((a_0,b_0)\) thỏa mãn \(a_0+b_0\) min. Không mất tổng quát giả sử \(a_0\geq b_0\)

    Xét PT: \(X^2-kb_0X+(b_0^2-k)=0\)

    Hiển nhiên $a_0$ là một nghiệm của PT. PT còn một nghiệm \(a_1\) nữa.

    Áp dụng hệ thức Viete ta có:

    \(\left\{\begin{matrix} a_0+a_1=kb_0\\ a_0a_1=b_0^2-k\end{matrix}\right.\)

    +) Nếu \(a_1< 0\Rightarrow a_1\leq -1\)

    \(\Rightarrow 0=a_1^2-kb_0a_1+(b_0^2-k)\geq a_1^2+kb_0+b_0^2-k\)

    \(\geq a_1^2+k+b_0^2-k=a_1^2+b_0^2\) (vô lý vì \(b_0\in\mathbb{Z}^+\) )

    +) Nếu \(a_1=0\Rightarrow b_0^2-k=0\Leftrightarrow k=b_0^2\) là số cp hay $A$ là số chính phương (đpcm)

    +) Nếu \(a_1>0\). Khi đó $(a_1,b_0)$ cũng là một cặp thuộc tập S

    Theo tính chất nhỏ nhất của \(a_0+b_0\Rightarrow a_0\leq a_1\) (1)

    Mà theo công thức Viete ở trên thì \(a_1=\frac{b_0^2-k}{a_0}< \frac{b_0^2}{a_0}\leq \frac{a_0^2}{a_0}=a_0\) (do \(b_0\leq a_0\) )

    Điều này mâu thuẫn với (1) nên vô lý

    Vậy \(A=k=b_0^2\) nên A là số chính phương.

     

      bởi Lê nhật Truong 25/12/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
YOMEDIA

Video HD đặt và trả lời câu hỏi - Tích lũy điểm thưởng

Các câu hỏi có liên quan

 

YOMEDIA
1=>1