YOMEDIA
NONE

Chứng minh 20^15-1 chia hết cho 11

a, \(M=1+9^{100}+94^{100}+1994^{100}\)có phải số chính phương không?
b, CMR: \(20^{15}-1⋮11\)

c, CMR: \(2^{30}+3^{30}⋮13\)

d,CMR: \(2^{28}-1⋮29\)

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Đàoo Giangg

    Lời giải:

    a) Dễ thấy \(M\) chẵn nên $M$ chia hết cho $2$

    Nếu $M$ là một số chính phương thì khi đó $M$ phải chia hết cho cả $4$

    Ta thấy:

    \(94^{100}\equiv 0\pmod 4\)

    \(1994^{100}\equiv 0\pmod 4\)

    \(1+9^{100}\equiv 1+1^{100}\equiv 2\pmod 4\)

    Do đó \(M\equiv 2\pmod 4\), tức là $M$ chia hết cho $2$ mà không chia hết cho $4$, nên $M$ không thể là số chính phương.

    b) Với \(11\in\mathbb{P}\) và \((20,11)=1\) thì áp dụng định lý Fermat:

    \(20^{10}\equiv 1\pmod {11}\)\(\Rightarrow 20^{15}-1\equiv 20^5-1\pmod {11}\)

    Ta có \(20\equiv -2\pmod {11}\Rightarrow 20^5-1\equiv (-2)^5-1\equiv -33\equiv 0\pmod {11}\)

    Suy ra \(20^{15}-1\equiv 0\pmod {11}\) (đpcm)

    c) Áp dụng định lý Fermat nhỏ:

    \(\left\{\begin{matrix} 2^{12}\equiv 1\pmod {13}\\ 3^{12}\equiv 1\pmod {13}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2^{30}+3^{30}=2^{12.2}.2^6+3^{12.2}.3^6\equiv 2^6+3^6\pmod{13}\)

    Mà \(\left\{\begin{matrix} 2^6\equiv -1\pmod {13}\\ 3^6\equiv 1\pmod {13}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2^6+3^6\equiv 0\pmod {13}\)

    Suy ra \(2^{30}+3^{30}\equiv 0\pmod {13}\)

    d) Đây chính là định lý Fermat nhỏ, áp dụng với \(29\in\mathbb{P}\) và \((2,29)=1\) ta có luôn đpcm.

      bởi Đàoo Giangg 27/02/2019
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 8

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF