YOMEDIA
NONE

Tìm số tự nhiên a, b, c để A=a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) là số nguyên tố

Tìm các số tự nhiên a, b, c sao cho \(A=a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\) là số nguyên tố.

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Phạm Xuân

    Lời giải:

    Ta có:

    \(A=a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)\)

    \(=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\)

    \(=ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ac(c+a)-2abc\)

    \(=b(a+b+c)(a+c)+ac(a+c)-2abc\)

    \(=(a+c)(b^2+ab+bc+ac)-2abc=(a+c)(b+a)(b+c)-2abc\)

    Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại ít nhất \(\left[\frac{3}{2}\right]+1=2\) số có cùng tính chẵn lẻ

    Giả sử hai số đó là \(a,b\) suy ra \(a+b\vdots 2\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a)\vdots 2\)

    \(\Rightarrow A=(a+b)(b+c)(c+a)-2abc\vdots 2\)

    Muốn $A$ là số nguyên tố thì $A=2$

    \(\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)-2abc=2\)

    Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

    \(2=(a+b)(b+c)(c+a)-2abc\geq 2\sqrt{ab}2\sqrt{bc}2\sqrt{ac}-2abc\)

    \(\Leftrightarrow 2\geq 8abc-2abc=6abc\)

    \(\Leftrightarrow \frac{1}{3}\geq abc\)

    Nếu \(a,b,c\geq 1\) thì điều này không thể xảy ra. Do đó phải tồn tại ít nhất một số bằng 0

    Không mất tính tổng quát giả sử \(a=0\Rightarrow bc(b+c)=2\)

    Từ đây ta dễ dàng tìm được \(b=c=1\) với \(b,c\in\mathbb{N}\)

    Vậy \((a,b,c)=(0;1;1)\) và các hoán vị tương ứng.

      bởi Phạm Xuân 10/10/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 6

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF