YOMEDIA
NONE

Chứng minh m^φ(n)+ n^φ(m) chia m.n dư 1, với mọi m; n>1

Chứng minh rằng mφ(n)+ nφ(m)\(\equiv1\)(mod m.n) với mọi m;n>1 ,(m;n)=1

Theo dõi Vi phạm
ADSENSE

Trả lời (1)

  • Lời giải:

    Vì $m,n$ là hai số nguyên tố cùng nhau nên theo định lý Euler ta có:

    \(\left\{\begin{matrix} m^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n\\ n^{\varphi (m)}\equiv 0 \pmod n\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)}\equiv 1\pmod n\) (1)

    Tương tự:

    \(\left\{\begin{matrix} m^{\varphi (n)}\equiv 0\pmod m\\ n^{ \varphi (m)}\equiv 1\pmod m\end{matrix}\right.\)

    \(\Rightarrow m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)}\equiv 1\pmod m\) (2)

    Từ (1) và (2) ta có thể đặt \(m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)}=mk+1=nt+1\)

    (trong đó \(k,t\in\mathbb{N}\) )

    \(\Rightarrow mk=nt\Rightarrow mk\vdots n\). Mà (m,n) nguyên tố cùng nhau nên \(k\vdots n\Rightarrow k=nu (u\in\mathbb{N})\)

    Khi đó:

    \(m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)}=mnu+1\Leftrightarrow m^{\varphi (n)}+n^{\varphi (m)} \equiv 1\pmod {mn}\)

    Ta có đpcm.

      bởi Nguyễn Phạm Khánh Huyền 22/09/2018
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF