Với hàm số \(y = - x - 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\), biết rằng tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng \({x_0}\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm với \({y_0} = \frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 2}}\).

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{\left( {2x} \right)'\left( {x + 2} \right) - 2x\left( {x + 2} \right)'}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{{2\left( {x + 2} \right) - 2x.1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{2x + 4 - 2x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của \(\left( C \right)\) tại \(M\) là:

\(\begin{array}{l}y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\\ = \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 2}}\end{array}\)

Cho \(x = 0\) thì

\(\begin{array}{l}y = \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\left( {0 - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 2}}\\ = \frac{{ - 4{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} + \frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 2}}\\ = \frac{{ - 4{x_0} + 2x_0^2 + 4{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} = \frac{{2x_0^2}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

Ta được điểm \(A\left( {0;\frac{{2x_0^2}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}} \right)\) là giao điểm của \(\Delta \) với \(Oy\).

Cho \(y = 0\) thì

\(\begin{array}{l}0 = \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 2}}\\ \Rightarrow \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) =  - \frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 2}}\\ \Rightarrow x - {x_0} =  - \frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 2}}:\frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow x - {x_0} = \frac{{ - {x_0}\left( {{x_0} + 2} \right)}}{2}\\ \Rightarrow x = \frac{{ - {x_0}\left( {{x_0} + 2} \right)}}{2} + {x_0}\\ = \frac{{ - x_0^2 - 2{x_0} + 2{x_0}}}{2} = \frac{{ - x_0^2}}{2}\end{array}\)

Ta được điểm \(B\left( { - \frac{{x_0^2}}{2};0} \right)\) là giao điểm của \(\Delta \) với \(Ox\).

Vì \(A,B \ne O\) nên \({x_0} \ne 0\).

Diện tích tam giác OAB là:

\(\begin{array}{l}{S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB\\ = \frac{1}{2}\left| {\frac{{2x_0^2}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}} \right|.\left| { - \frac{{x_0^2}}{2}} \right| = \frac{1}{2}.\frac{{x_0^4}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\end{array}\)

Do \({S_{OAB}} = \frac{1}{{18}}\) nên

\(\begin{array}{l}\frac{1}{2}.\frac{{x_0^4}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} = \frac{1}{{18}}\\ \Leftrightarrow 18x_0^4 = 2{\left( {{x_0} + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 9x_0^4 = {\left( {{x_0} + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x_0^2 = {x_0} + 2\\3x_0^2 =  - {x_0} - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x_0^2 - {x_0} - 2 = 0\\3x_0^2 + {x_0} + 2 = 0\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} =  - \frac{2}{3}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {TM} \right)\end{array}\)

+) Với \({x_0} = 1\) thì \({y_0} = \frac{{2.1}}{{1 + 2}} = \frac{2}{3}\) và \(y'\left( 1 \right) = \frac{4}{{{{\left( {1 + 2} \right)}^2}}} = \frac{4}{9}\) ta có tiếp tuyến:

\(y = \frac{4}{9}\left( {x - 1} \right) + \frac{2}{3}\) hay \(y = \frac{4}{9}x + \frac{2}{9}\)

+) Với \({x_0} =  - \frac{2}{3}\) thì \({y_0} = \frac{{2.\left( { - \frac{2}{3}} \right)}}{{ - \frac{2}{3} + 2}} =  - 1\) và \(y'\left( { - \frac{2}{3}} \right) = \frac{4}{{{{\left( { - \frac{2}{3} + 2} \right)}^2}}} = \frac{9}{4}\) ta có tiếp tuyến:

\(y = \frac{9}{4}\left( {x + \frac{2}{3}} \right) - 1\) hay \(y = \frac{9}{4}x + \frac{1}{2}\).

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là:

\(\begin{array}{l}{\Delta _1}:y = \frac{4}{9}x + \frac{2}{9}\\{\Delta _2}:y = \frac{9}{4}x + \frac{1}{2}\end{array}\