Có hàm số sau đây là \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Viết phương trình tiếp tuyến với \(\left( C \right)\), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:\,3x + y - 4 = 0\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\). Ta có \(y' = \frac{{1.\left( { - 2} \right) - 1.1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm của \(\left( C \right)\), hệ số góc của tiếp tuyến tại \(C\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}\).

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:\,3x + y - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow y =  - 3x + 4\)  nên ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{ - 3}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} =  - 3\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 2 = 1\\{x_0} - 2 =  - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3 \Rightarrow M\left( {3;4} \right)\\{x_0} = 1 \Rightarrow M\left( {1; - 2} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\left( {3;4} \right)\) là : \(y =  - 3\left( {x - 3} \right) + 4\)\( \Leftrightarrow y =  - 3x + 13\) .

Phương trình tiếp tuyến tại \(M\left( {1; - 2} \right)\) là : \(y =  - 3\left( {x - 1} \right) - 2\)\( \Leftrightarrow y =  - 3x + 1\) .