Chứng minh GP, BE, CF đồng quy biết am giác ABC nhọn không cân

Gọi AD là đường kính của (O) , dễ thấy G , P , D thẳng hàng và PE // CD ; PF // BD . Giả sử PE , PFcắt DB , DC tại K , L ; EFcắt BC tại T

Theo định lý Desargues để chứng minh BE , CF , GP ( hay PD ) đồng quy ta chỉ cần chứng minh T , K , L thẳng hàng

Áp dụng định lý Menelaus ta được :

\(\dfrac{TB}{TC}.\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{FA}{FB}=1\Rightarrow\dfrac{TB}{TC}=\dfrac{FB}{EC}=\dfrac{AE}{AF}\left(1\right)\)

Dễ thấy tứ giác EFBC nội tiếp nên \(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{BE}{CF}\left(2\right)\)

Cũng từ EFBC nội tiếp suy ra :

\(\widehat{FCL}=\widehat{FCA}+\widehat{ACL}=\widehat{EBA}+90^0=\widehat{EBA}+\widehat{ABK}=\widehat{KBE}\)

Tứ giác PKDL là hình bình hành suy ra \(\widehat{PKB}=\widehat{PLC}\)

Suy ra \(\varnothing\) EBK : \(\varnothing\) FCL \(\Rightarrow\) \(\dfrac{BE}{CF}=\dfrac{KB}{CL}\left(3\right)\)

Ta có : BF . PL = CE . PK = S_PKDL \(\Rightarrow\) _{\(\dfrac{BF}{CE}=\dfrac{PK}{PL}=\dfrac{DL}{DK}\left(4\right)\)}

Thay (2) , (3) , (4) vào (1) ta được :

\(\dfrac{TB}{TC}=\dfrac{DL}{DK}.\dfrac{KB}{CL}\Rightarrow\dfrac{TB}{TC}.\dfrac{LC}{LD}.\dfrac{KD}{KB}=1\)

Từ đó áp dụng định lý menelaus cho tam giác DBC ta suy ra T,K,L thẳng hàng