YOMEDIA
NONE

Cho số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_n^3C_n^{n - 3} - 2C_n^3C_{n - 1}^2 + C_{n - 1}^2C_{n - 1}^{n - 3} = 14400.\) Thực hiện tìm hệ số của số hạng chứa \({x^9}\) trong khai triển \(T\left( x \right) = {\left( {8{x^6} - 36{x^3} - \dfrac{{27}}{{{x^3}}} + 54} \right)^n},\) với \(x \ne 0.\)

Cho số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_n^3C_n^{n - 3} - 2C_n^3C_{n - 1}^2 + C_{n - 1}^2C_{n - 1}^{n - 3} = 14400.\) Thực hiện tìm hệ số của số hạng chứa \({x^9}\) trong khai triển \(T\left( x \right) = {\left( {8{x^6} - 36{x^3} - \dfrac{{27}}{{{x^3}}} + 54} \right)^n},\) với \(x \ne 0.\)

Theo dõi Vi phạm
ATNETWORK

Trả lời (1)

  • Truc Ly

    Ta có \(C_n^k = C_n^{n - k},\forall n,k \in \mathbb{N}\left( {k \le n} \right)\)

    Do đó

    \(C_n^3C_n^{n - 3} - 2C_n^3C_{n - 1}^2 + C_{n - 1}^2C_{n - 1}^{n - 3} = 14400\)

    \( \Leftrightarrow {\left( {C_n^2} \right)^2} - 2C_n^3C_{n - 1}^2 + {\left( {C_{n - 1}^2} \right)^2} = 14400\)

    \( \Leftrightarrow {\left( {C_n^3 - C_{n - 1}^2} \right)^2} = {120^2}\)

    \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}C_n^3 - C_{n - 1}^2 = 120\\C_n^3 - C_{n - 1}^2 =  - 120\end{array} \right.\)

    +) \(C_n^3 - C_{n - 1}^2 = 120\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} - \dfrac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{2!\left( {n - 3} \right)!}} = 120\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} - \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{2} = 120\)

    \( \Leftrightarrow n\left( {{n^2} - 3n + 2} \right) - 3\left( {{n^2} - 3n + 2} \right) = 720\) \( \Leftrightarrow {n^3} - 6{n^2} + 11n - 726 = 0 \Leftrightarrow n = 11\)

    +)\(C_n^3 - C_{n - 1}^2 =  - 120\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} - \dfrac{{\left( {n - 1} \right)!}}{{2!\left( {n - 3} \right)!}} =  - 120\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} - \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{2} =  - 120\)

    \( \Leftrightarrow n\left( {{n^2} - 3n + 2} \right) - 3\left( {{n^2} - 3n + 2} \right) =  - 720\)\( \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right) =  - 720\) (vô nghiệm do \(n \ge 3\))

    \(T\left( x \right) = {\left( {8{x^6} - 36{x^3} - \dfrac{{27}}{{{x^3}}} + 54} \right)^{11}}\) \( = {\left[ {{{\left( {2{x^2} - \dfrac{3}{x}} \right)}^3}} \right]^{11}} = {\left( {2{x^2} - \dfrac{3}{x}} \right)^{33}}\)

    Số hạng tổng quát trong khai triển trên là :

    \(C_{33}^k{\left( {2{x^2}} \right)^{33 - k}} \cdot {\left( { - \dfrac{3}{x}} \right)^k} = C_{33}^k{.2^{33 - k}}.{\left( { - 3} \right)^k}.{x^{66 - 3k}}\)

    Hệ số của số hạng chứa \({x^9}\) trong khai triển trên ứng với \(k\) là nghiệm của phương trình : \(66 - 3k = 9 \Leftrightarrow k = 19\)

    Vậy hệ số cần tìm là \(C_{33}^{19}{.2^{14}}.{\left( { - 3} \right)^{19}}\)

      bởi Truc Ly 17/07/2021
    Like (0) Báo cáo sai phạm
Cách tích điểm HP

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy
 
NONE

Các câu hỏi mới

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON