Cho biết hàm của các hàm số \(y = \frac{{m-1}}{{12}}{x^4}-\frac{{m + 1}}{3}{x^3}\)\( + \frac{{{\rm{3(}}m - 2)}}{2}{x^2} + 7x + 2020\). Tìm giá trị \(m\) để \(y'' < 0\) vô nghiệm.

\(y = \frac{{m-1}}{{12}}{x^4}-\frac{{m + 1}}{3}{x^3}\)\( + \frac{{{\rm{3(}}m - 2)}}{2}{x^2} + 7x + 2020\)

\( \Rightarrow y' = \frac{{\left( {m - 1} \right){x^3}}}{3} - \left( {m + 1} \right){x^2}\)\( + 3\left( {m - 2} \right)x + 7\)  

\(y'' = \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x\)\( + 3\left( {m - 2} \right)\)  

Bất phương trình \(y'' < 0\) vô nghiệm

\( \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x\) \( + 3\left( {m - 2} \right) < 0\) vô nghiệm

\( \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x\)\( + 3\left( {m - 2} \right) \ge 0\) nghiệm đúng \(\forall x\).

TH1: \(m = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow  - 2x - 6 \ge 0\\ \Leftrightarrow x \le  - 3 \Rightarrow m = 0\,\,\left( {ktm} \right)\end{array}\)

TH2: \(m \ne 0\)

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 3\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) \le 0\end{array} \right.\)  

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{m^2} + 2m + 1 - 3\left( {{m^2} - 3m + 2} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\ - 2{m^2} + 11m - 5 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 5\\m \le \frac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 5\end{array}\).

Vậy \(m \ge 5\).