Cho biết cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với công sai \(d\). Biết \(\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 2d - 2\\u_2^2 + u_4^2 = 20\end{array} \right.\). Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{u_3} + {u_5} = 2d - 2\\u_2^2 + u_4^2 = 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_4} = 2d - 2\\u_2^2 + u_4^2 = 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = d - 1\\{\left( {{u_4} - 2d} \right)^2} + u_4^2 = 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = d - 1\\{\left( {d - 1 - 2d} \right)^2} + {\left( {d - 1} \right)^2} = 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = d - 1\\{d^2} + 2d + 1 + {d^2} - 2d + 1 = 20\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = d - 1\\2{d^2} = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = d - 1\\d =  \pm 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 2\\d = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_4} =  - 4\\d =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {u_4} - 3d =  - 7\\d = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {u_4} - 3d = 5\\d =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \({u_1} =  - 7;\,\,d = 3\) hoặc \({u_1} = 5;\,\,d =  - 3\).