Các chữ số sau \(0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\) có thể lập được tất cả dược bao nhiêu số tự nhiên chẵn có năm chữ số khác nhau và trong năm chữ số đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ này không đứng cạnh nhau.

Gọi số có năm chữ số có dạng \(\overline {abcde} \).

TH1: \(e = 0\) có \(1\) cách chọn.

Chọn \(2\) chữ số lẻ và \(2\) chữ số chẵn và xếp vị trí cho chúng có \(C_5^2.C_4^2.4!\) cách chọn.

Do đó có  \(C_5^2.C_4^2.4!\) số.

TH2: \(e \in \left\{ {2;4;6;8} \right\}\) có \(4\) cách chọn.

+) Nếu \(a\) chẵn, \(a \ne 0,a \ne e\) thì có \(3\) cách chọn.

Số cách chọn 3 chữ số còn lại (\(1\) chữ số chẵn và \(2\) chữ số lẻ) và xếp vị trí cho chúng là \(C_3^1.C_5^2.3!\) cách chọn.

Do đó có \(3.C_3^1.C_5^2.3!\) số.

+) Nếu \(a\) lẻ thì có \(5\) cách chọn.

Số cách chọn 3 chữ số còn lại (\(2\) chữ số chẵn và \(1\) chữ số lẻ) và xếp vị trí cho chúng là \(C_4^2.C_4^1.3!\) cách chọn.

Do đó có \(5.C_4^2.C_4^1.3!\) số.

Khi đó số các số chẵn có \(5\) chữ số khác nhau mà chỉ có đúng \(2\) chữ số lẻ là \(C_5^2.C_4^2.4! + 4.\left( {3.C_3^1.C_5^2.3! + 5.C_4^2.C_4^1.3!} \right) = 6480\) số.

Ta tính số các số chẵn có \(5\) chữ số khác nhau chỉ có \(2\) chữ số lẻ mà chúng đứng cạnh nhau.

Coi hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau là một chữ số \(A\), có \(A_5^2\) cách chọn và sắp xếp vị trí của hai chữ số trong \(A\).

Số có dạng \(\overline {abcd} \) với \(a,b,c,d \in \left\{ {A;0;2;4;6;8} \right\}\).

+) Nếu \(a = A\) thì có \(A_5^3\) cách chọn \(b,c,d\).

+) Nếu \(a \ne A,a \ne 0\) thì có \(4\) cách chọn.

\(A\) có thể đứng ở vị trí \(b\) hoặc \(c\) nên có \(2\) cách xếp.

Có \(A_4^2\) cách chọn và sắp xếp hai chữ số còn lại.

Do đó có \(A_5^2\left( {A_5^3 + 4.2.A_4^2} \right) = 3120\)

Vậy có \(6480 - 3120 = 3360\) số.