Câu hỏi trắc nghiệm (10 câu):
-
Câu 1:
1. Cho số phức \(z=1+2i\). Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(w=2z+\bar{z}\)
2. Cho \(log_2x=\sqrt{2}\). Tính giá trị của biểu thức \(A=log_2x^2+log_{\frac{1}{2}}x^2+log_4x\)-
1.
Ta có
Vậy phần thực của w là và phần ảo của w là .
2.
Ta có
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
Ghi chú. Dấu được ghi là +vc; dấu được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
= = = = = = = =
Lời giải:1.
Ta có
\(w=2(1+2i)+1-2i=3+2i\)
Vậy phần thực của w là 3 và phần ảo của w là 2.
2.
Ta có
\(A=2log_2x-3log_2x+\frac{1}{2}log_2x\)
\(=-\frac{1}{2}log_2x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) -
-
Câu 2:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y=-x^4+2x^2\)
-
Tập xác định: D = R
Sự biến thiên
- Chiều biến thiên:
Hàm số đồng biến trên các khoảng và
Hàm số nghịch biến trên các khoảng và
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại
Hàm số đạt cực tiểu tại
- Giới hạn
- Bảng biến thiên
Đồ thị
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
Ghi chú. Dấu được ghi là +vc; dấu được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
= = = = = = = =
Lời giải:Tập xác định: D = R
Sự biến thiên
- Chiều biến thiên:
\(y'=-4x^3+4x\)
\(y'=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x=0\\ x=\pm 1 \end{matrix};y'>0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x<-1\\ 0<x<1 \end{matrix};y'<0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} -1<x<0\\ x>1 \end{matrix}\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty ;-1)\) và \((0;1)\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-1;0)\) và \((1;+\infty )\)
- Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \(x=\pm 1, y_{CD}=1\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0, y_{CT}=0\)
- Giới hạn
\(\lim_{x\rightarrow -\infty }y=-\infty ;\lim_{x\rightarrow +\infty }y=-\infty\)
- Bảng biến thiên
Đồ thị
-
-
Câu 3:
Tìm m để hàm số \(f(x)=x^3-3x^2+mx-1\) có hai điểm cực trị. Gọi \(x_1,x_2\) là hai điểm cực trị đó, tìm m để \(x^2_1+x_2^2=3\) .
-
Hàm số đã cho xác định với mọi
Ta có
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình có hai nghiệm phân biệt, tức là
Ta có
(thỏa mãn)
Vậy
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
Ghi chú. Dấu được ghi là +vc; dấu được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
= = = = = = = =
Lời giải:Hàm số đã cho xác định với mọi \(x \in R\)
Ta có
\(f'(x)=3x^2-6x+m\)
Hàm số có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình \(3x^2-6x+m=0\) có hai nghiệm phân biệt, tức là \(\Delta '>0\Leftrightarrow m<3\)
Ta có
\(x^2_1+x^2_2=3\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=3\Leftrightarrow 4-2. \frac{m}{3}=3\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}\) (thỏa mãn)
Vậy \(m=\frac{3}{2}\) -
-
Câu 4:
Tính tích phân \(I=\int_{0}^{3}3x(x+\sqrt{x^2+16})dx\)
-
Ta có
Đặt , ta có
Do đó
Vậy
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
Ghi chú. Dấu được ghi là +vc; dấu được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
= = = = = = = =
Lời giải:Ta có \(I=\int_{0}^{3}3x^2dx+\int_{0}^{3}3x\sqrt{x^2+16}dx\)
\(I_1=\int_{0}^{3}3x^2dx=x^3\bigg|^3_0=27\)
\(I_2=\int_{0}^{3}3x\sqrt{x^2+16}dx\)
Đặt \(t=x^2+16\), ta có \(t'=2x;t(0)=16,t(3)=25\)
Do đó \(I_2=\int_{16}^{25}\frac{3}{2}\sqrt{t}dt\)
\(=t\sqrt{t}\bigg|^{25}_{16}=61\)
Vậy \(I=I_1+I_2=88\) -
-
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3;2;-2), B(1;0;1) và C(2;-1;3). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc cả A trên đường thẳng BC.
-
Ta có (; -1; )
Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với BC có phương trình là
Đường thẳng BC có phương trình
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Ta có
- Vì nên
- Vì nên
Vậy
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
Ghi chú. Dấu được ghi là +vc; dấu được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
= = = = = = = =
Lời giải:Ta có \(\overrightarrow{BC}=(1;-1;2)\)
Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với BC có phương trình là \(x-y+2z+3=0\)
Đường thẳng BC có phương trình \(\left\{\begin{matrix} x=1+t\\ y=-t\\ z=1+2t \end{matrix}\right.\)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC. Ta có \(H=(P)\cap BC\)
- Vì \(H \in BC\) nên \(H(1+t; -t; 1+2t)\)
- Vì \(H \in (P)\) nên \((1+t)-(-t)+2(1+2t)+3=0\Leftrightarrow t=-1\)
Vậy \(H(0;1;-1)\) -
-
Câu 6:
1. Giải phương trình: \(2sin^2x+7sinx-4=0\)
2. Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình. Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10. Học sinh B không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng điều khiển. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó.
-
1.
Ta có
: Vô nghiệm
2.
Không gian mẫu có số phần tử là
Gọi E là biến cố: "B mở được phòng học". Ta có
Do đó n(E)=
Vậy
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
Ghi chú. Dấu được ghi là +vc; dấu được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
= = = = = = = =
Lời giải:1.
Ta có
\(2sin^2x+7sinx-4=0\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} sinx=-4\\ \\sinx=\frac{1}{2} \end{matrix}\)
\(sinx=-4\): Vô nghiệm
\(sinx=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ \\ x=\frac{5 \pi}{6}+k2\pi \end{matrix}\)
2.
Không gian mẫu \(\Omega\) có số phần tử là \(n(\Omega )=A^3_{10}=720\)
Gọi E là biến cố: "B mở được phòng học". Ta có
\(E=\left \{ (0;1;9),(0;2;8),(0;3;7);(0;4;6),(1;2;7),(1;3;6),(1;4;5),(2,3,5) \right \}\)
Do đó n(E)= 8
Vậy \(P(E)=\frac{n(E)}{n(\Omega )}=\frac{1}{90}\) -
-
Câu 7:
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC, đường thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 450. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và chứng minh A’B vuông góc với B’C.
-
Gọi H là trung điểm của AC, ta có
Ta có và
Tam giác A'HB vuông cân tại H, suy ra A'H = BH = a
Do đó
Gọi I là giao điểm của A'B và AB', ta có I là trung điểm của A'B và AB'. Suy ra
Mặt khác HI là đường trung bình của nên . Do đó
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
Ghi chú. Dấu được ghi là +vc; dấu được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
= = = = = = = =
Lời giải:Gọi H là trung điểm của AC, ta có \(A'H\perp (ABC)\Rightarrow A'BH=45^0\)
Ta có \(BH=\frac{1}{2}AC=a\) và \(S_\Delta =a^2\)
Tam giác A'HB vuông cân tại H, suy ra A'H = BH = a
Do đó \(V_{ABC.A'B'C'}=A'H.S_{\Delta ABC}=a^3\)
Gọi I là giao điểm của A'B và AB', ta có I là trung điểm của A'B và AB'. Suy ra\(HI\perp A'B\)
Mặt khác HI là đường trung bình của \(\Delta AB'C\) nên \(HI//B'C\). Do đó \(A'B\perp B'C\) -
-
Câu 8:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng BC, BD và P là giao điểm của hai đường thẳng MN, AC. Biết đường thẳng AC có phương trình x – y – 1 = 0, M(0; 4), N(2; 2) và hoành độ điểm A nhỏ hơn 2. Tìm tọa độ các điểm P, A và B.
-
Phương trình MN: x + y - = 0
Tọa độ P là nghiệm của hệ
Vì AM song song với DC và các điểm A, B, M, N cùng thuộc một đường tròn nên ta có
Suy ra PA = PM
Vì nên A(a;a-1), a <
Ta có
Đường thẳng BD đi qua N và vuông góc với AN nên có phương trình là 2x + 3y - = 0
Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AM nên có phương trình là y - = 0
Tọa độ B là nghiệm của hệ
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
Ghi chú. Dấu được ghi là +vc; dấu được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
= = = = = = = =
Lời giải:
Phương trình MN: x + y - 4 = 0
Tọa độ P là nghiệm của hệ
\(\left\{\begin{matrix} x+y-4=0\\ x-y-1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow P \left ( \frac{5}{3};\frac{3}{2} \right )\)
Vì AM song song với DC và các điểm A, B, M, N cùng thuộc một đường tròn nên ta có
\(\widehat{PAM}=\widehat{PCD}=\widehat{ABD}=\widehat{AMP}\)
Suy ra PA = PM
Vì \(A\in AC: x-y-1=0\) nên A(a;a-1), a <2
Ta có \(\left ( a-\frac{5}{2} \right )^2+\left ( a-\frac{5}{2} \right )^2= \left ( \frac{5}{2} \right )^2+\left ( \frac{5}{2} \right )^2\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} a=0\\ a=5 \end{matrix}\Rightarrow A(0;-1)\)
Đường thẳng BD đi qua N và vuông góc với AN nên có phương trình là 2x + 3y - 10 = 0
Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AM nên có phương trình là y - 4 = 0
Tọa độ B là nghiệm của hệ \(\left\{\begin{matrix} 2x+3y-10=0\\ y-4=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow B(-1;4)\)
-
-
Câu 9:
Giải phương trình: \(\small 3log_3^2(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x})+2log_{\frac{1}{3}}(\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}).log_3(9x^2)+ \left ( 1- log_{\frac{1}{3}}x\right )=0\)
-
Điều kiện
Khi đó phương trình đã cho tương đương với
Kết hợp với điều kiện , ta có nghiệm
Vì nên
Mặt khác
Do đó phương trình (1) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
Ghi chú. Dấu được ghi là +vc; dấu được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
= = = = = = = =
Lời giải:Điều kiện \(0<x\leq 2\)
Khi đó phương trình đã cho tương đương với
\(\small 3log^2_3\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )-4log_3\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right ).log_3(3x)+log_3^2(3x)=0\)
\(\Leftrightarrow \left [ log_3\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )-log_3(3x) \right ]\) \(\left [ 3log_3\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right ) -log_3(3x)\right ]=0\)
\(log_3\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right ) -log_3(3x)=0\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} =3x\)
\(\Leftrightarrow 4+2\sqrt{4-x^2}=9x^2\Leftrightarrow 2\sqrt{4-x^2}=9x^2-4\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2\geq \frac{4}{9}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \\ 81x^4-68x^2=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x^2=\frac{68}{81}\)
Kết hợp với điều kiện \(0<x\leq 2\), ta có nghiệm \(x=\frac{2\sqrt{17}}{9}\)
\(3log_3\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )-log_3(3x)=0\Leftrightarrow \left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )^3=3x(1)\)
Vì \(0<x\leq 2\) nên \(3x\leq 6\)
Mặt khác \(\left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )^2=4+2\sqrt{4-x^2}\geq 4\Rightarrow \left ( \sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} \right )^3\geq 8\)
Do đó phương trình (1) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=\frac{2\sqrt{17}}{9}\) -
-
Câu 10:
Xét các số thức x, y thỏa mãn: \(x+y+1=2(\sqrt{x-2}+\sqrt{y+3})(*)\)
1. Tìm giá trị lớn nhất của x + y.
2. Tìm m để \(3^{x+y-4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-3(x^2+y^2)\leq m\) đúng với mọi x, y thỏa mãn (*)
-
1.
Điều kiện
Ta có
nên từ (**) suy ra
Ta có x = 6, y = 1 thỏa mãn (*) và x + y = 7. Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức x + y bằng
2.
Vì nên từ (**) suy ra
Vì do nên
Do đó
Đặt t = x + y, ta có t = -1 hoặc
Xét hàm số . Ta có
Suy ra f'(t) đồng biến trên (3;7). Mà f'(t) liên tuc trên [3,7] và f'(3) f'(7) < 0, do đó f'(t) = 0 có nghiệm duy nhất
f'(t) = 0 có nghiệm duy nhất
Bảng biến thiên
Suy ra với mọi x, y thỏa mãn (*)
Đẳng thức xảy ra khi x = 2, y = 1
Vậy
Các em điền kết quả vào các ô trống sau, mỗi ô đúng sẽ được 0.125 điểm.
Ghi chú. Dấu được ghi là +vc; dấu được ghi là −vc; số lẻ 0,5 ghi là 1/2
= = = = = = = =
Lời giải:1.
Điều kiện \(x\geq 2,y\geq -3\)
Ta có \((*)\Leftrightarrow (x+y+1)^2=4(x+y+1+2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}) (**)\)
\(2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}\leq x+y+1\) nên từ (**) suy ra \((x+y+1)^2\leq 8(x+y+1)\)
\(\Rightarrow x+y+1\leq 8\Rightarrow x+y\leq 7\)
Ta có x = 6, y = 1 thỏa mãn (*) và x + y = 7. Do đó giá trị lớn nhất của biểu thức x + y bằng 7
2.
Vì \(2\sqrt{x-2}\sqrt{y+3}\geq 0\)nên từ (**) suy ra \((x+y+1)^2\leq 4(x+y+1)\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x+y+1\leq 0\\ x+y+1\geq 4 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x+y+1=0 (vi \ x+y+1\geq 0)\\ x+y+1\geq 4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack \begin{matrix} x+y=-1\\ x+y\geq 3 \end{matrix}\)
Vì \(x^2\geq 2x\) do \((x\geq 2),y^2+1\geq 2y\) nên \(x^2+y^2+1\geq 2(x+y)\)
Do đó
\(3^{x+y-4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-3(x^2+y^2)\)\(\leq 3^{x+y-4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-6(x+y)+3\)
Đặt t = x + y, ta có t = -1 hoặc \(3\leq t\leq 7\)
Xét hàm số \(f(t)=3^{t-4}+(t+1).2^{7-t}-6t+3\). Ta có \(f(-1)=\frac{2188}{243}\)
\(f'(t)=3^{t-4}ln3+2^{7-t}-(t+1)2^{7-t}ln2-6\)
\(f''(t)=3^{t-4}ln^23+\left [ (t+1)ln2-2 \right ]2^{7-t}ln2> 0, \forall t\notin [3;7]\)
Suy ra f'(t) đồng biến trên (3;7). Mà f'(t) liên tuc trên [3,7] và f'(3) f'(7) < 0, do đó f'(t) = 0 có nghiệm duy nhất \(t_0\in (3;7)\)
f'(t) = 0 có nghiệm duy nhất \(t_0\in (3;7)\)
Bảng biến thiên
Suy ra \(3^{x+y+4}+(x+y+1)2^{7-x-y}-3(x^2+y^2)\leq \frac{148}{3}\) với mọi x, y thỏa mãn (*)
Đẳng thức xảy ra khi x = 2, y = 1
Vậy \(m\geq \frac{148}{3}\) -